Sí, inaccesible cardenales cardenales, haciendo de ellos, por definición, los números ordinales, y por consiguiente los juegos. Si adopta el Platónico de vista, incluso por el bien de la discusión, entonces, que hay un universo de conjuntos de $V$ que contiene a todos los conjuntos, y si no son inaccesibles cardenales, a continuación, se establece allí.
Dos ejemplos
Permítanme una digresión y presente dos ejemplos, que podrían ayudar a comprender un poco lo que inaccesibilidad realmente significa.
El caso de $\omega$
Hay una razón por la que gran cardenal axiomas son a menudo llamados "fuertes infinito de axiomas". Si consideras $\sf ZFC-Inf$, $V_\omega$ es un modelo de la teoría. Y esta teoría es demasiado débil para demostrar la existencia de $\omega$. Porque todo lo que puedes hacer es finitary operaciones sobre conjuntos finitos, el cual nunca puede conducir a la existencia de un conjunto infinito.
Para el fin de obtener $\omega$ como un conjunto, es necesario postular su existencia por un axioma. Usted no puede "acceder" $\omega$ mediante la construcción desde abajo. Y en ese sentido, inaccesible cardenales son inaccesibles.
El caso de $\omega_1$
Consideremos $\omega_1$, pero se sustituye el habitual de las operaciones con el ordinal de la aritmética. Así que usted está autorizado a tomar infinitas sumas, productos, exponentiations, lo que quieras. Pero sólo podrá hacerlo sobre contables ordinales, tanto como los índices y como sumandos/multiplicands/etc., el resultado es que no se puede escribir $\omega_1$ abajo. Es más allá de su alcance.
Ordinal aritmética es la cardinalidad de la preservación (cuando infinita de los números ordinales están involucrados), así que no importa lo que usted aplique contables ordinales, el resultado es una contables ordinal. Nunca $\omega_1$.
Así que a partir de un ordinal aritmética de punto de vista, $\omega_1$ es inaccesible.
Entonces, ¿qué significa ser inaccesible?
Realmente significa que no hay ningún conjunto de tamaño de menos de $\kappa$ que puede definably proporcionarle $\kappa$, o con una mayor ordinal. Ya sea a través de exponenciación (de forma que los conjuntos no son suficientes), o suma (para uniones de conjuntos más pequeños siguen siendo menor, si el índice fue menor).
Inaccesible cardenales son aquellas que no importa lo que hagamos, no podemos construir a partir de pequeños conjuntos. Debemos postular su existencia "a mano".
Aquí es un hecho curioso, sin embargo. Lo anterior implica que si $\kappa$ es inaccesible, a continuación, $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$. Uno estaría tentado a sostener que la inversa de implicación tiene. Esto no es cierto.
Si $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$, entonces todo lo que se puede concluir es que no hay manera de definir dentro de $V_\kappa$ una receta de contraer $\kappa$ a partir de pequeños conjuntos, sino $V$ es mayor, y en $V_{\kappa+1}$ podemos encontrar tal objeto. Para el fin de obtener la inaccesibilidad, usted necesita para reemplazar a $\sf ZFC$ con su segundo fin de contraparte.
Bueno, ¿qué acerca de su existencia, entonces?
Finitism rechazar la idea de conjuntos infinitos. Algunos, como ultrafinitists incluso rechazar la idea de un infinito "clase". Pero hasta ahora, los intentos de probar que los conjuntos infinitos no existen fallar. Y porque esta idea está tan arraigada en las matemáticas modernas, la mayoría de nosotros el sueño de forma segura por la noche, creyendo que nadie va directamente (y en serio) refutar su existencia.
Incluso si no podemos demostrar la existencia de un conjunto infinito sin ayuda de los que explícita axioma de infinitud.
Gran cardenal axiomas, o fuerte infinito de axiomas, comparten el mismo destino. No podemos demostrar, y así de un Platónico vista, no podemos demostrar que inaccesible cardenales existe realmente si todos estamos de acuerdo es $\sf ZFC$. Pero si usted cree que inaccesible cardenales son consistentes (y parece ser que la mayoría de los teóricos creen que de esa manera), entonces usted duerma seguro y sonido por la noche sabiendo que nadie va en serio refutar su existencia, mañana por la mañana.
Hay un problema, sin embargo, de un "no-set teórico punto de vista". El infinito es un misterio, pero a la incompletitud es aún peor y puede ser confuso para los no-lógicos, a veces.
Si suponemos que existe un cardinal inaccesible existe, entonces podemos demostrar que $\sf ZFC$ es consistente. Igual que cuando asumimos que $\omega$ existe podemos demostrar que $\sf ZFC-Inf$ es consistente (que también es una motivación para el término "fuerte infinito de axiomas").
Pero inaccesible cardenales no suelen venir con esta "muy concreto" descripción de como $\omega$ tiene como el menor conjunto inductivo. Un cardinal inaccesible, no puede ni siquiera ser el más pequeño $\kappa$ tal que $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$. Para obtener este tipo de objeto ambiguos, cuya existencia supuestamente contradice el teorema de la incompletitud.
Cuando yo era un estudiante de la maestría recuerdo la sensación de que algo está muy de pescado con todos los grandes cardenales, ya que permiten probar todo tipo de consistencia de los resultados como que. Pero, a continuación, Shimon Garti, quien estaba terminando su Tel. D. en el momento en que me dijo "sí, pero hay que agregar axiomas, su teoría es más fuerte y puede resultar más cosas". Y que han hecho clic todo junto: agregar axiomas, entonces usted puede probar más.
Pero el hecho sigue siendo, para un no-lógico, inaccesible cardenales son también mentalmente inaccesible, ya que su existencia no es dado por algunos "buena construcción". De manera que no poseen este inefable comprensión de lo que es un cardinal inaccesible es en la jerarquía de los conjuntos. Para ellos todo es cuestión de magia negra de todos modos.
