Verificando que $(G, \circ )$ es un grupo, donde la noción de $G$ y $ \circ $ se vuelven muy complejas.

Question

En primer lugar, perdón por ese horrible título, si sabe cómo perfeccionarlo, por favor, sea mi invitado y hágalo. Esta pregunta es del mismo calibre que $ \hom (V,W)$ es isomorfo canónico a $ \hom (W^*, V^*)$ que solía preguntar hace mucho tiempo.

Desafortunadamente esto viene con dos cosas. La primera es que no entiendo nada de este problema, la segunda es que necesito escribir muchas cosas para que este post parezca una pregunta, aunque la pregunta más honesta que podría hacer sería "¿Whaaaaaa?"

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Problema : Deje que $I \neq \emptyset $ ser un conjunto y $(G_i, \circ_i )_{i \in I}$ ser una familia de grupos. Que $G:= \times_ {i \in I} G_i$ y considerar la cartografía $ \circ : G \times G \to G$ se definirá por $$ (x_i)_{i \in I} \circ (y_i)_{ i \in I} := (x_i \circ_i y_i)_{i \in I} $$ Muestra que $(G, \circ )$ es un grupo.

Vaya, está bien. Me encantaría entender este problema, pero no lo hago. Sin embargo, déjame mostrarte que he hecho mis deberes y al menos saber qué se espera de mí.

Mi enfoque : Primero quiero introducir todos los símbolos, empezando por los más simples

• $(x_i)_{i \in I}$ es una familia de elementos en $M$ . Esto tiene más sentido para mí cuando considero $M^I := \text {map}(I,M)$ los mapas de $I \to M$ donde $I$ es el conjunto de índices. Para $I= \mathbb {N}$ Conseguiría las secuencias regulares con valores en $M(= \mathbb {R}/ \mathbb {C}$ )

• $ \times_ {i \in I} G_i:= \lbrace x:I \to \bigcup_ {i \in I} G_i \mid x_i \in G_i , \forall i \in I \rbrace $ es el producto directo de una familia de conjuntos $(G_i)_{i \in I}$ para $I= \lbrace 1,2 \rbrace $ Tengo el producto cartesiano, no lo veo muy bien para ser honesto pero puedo darlo por sentado.

siguiente para $(G, \circ )$ para ser un grupo necesito verificar varias cosas:

• Primero la operación $ \circ $ debe ser asociativo es decir, para tres elementos $x,y,z \in G$ Debo mostrar que $x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z$ . Así que los elementos en $G$ son familias $(x_i)_{i \in I}$ con elementos en $M$ así que creo que tengo que mostrar que $$((x_i)_{i \in I} \circ (y_i)_{i \in I}) \circ (z_i)_{i \in I} : \overset {?}= (((x_i)_{i \in I} \circ (y_i)_{i \in I}) \circ_i z_i)_{i \in I} \overset {?}=(x_i \circ_i y_i \circ_i z_i)_{i \in I} \\  = ???? = (x_i)_{i \in I} \circ ((y_i)_{i \in I} \circ (z_i)_{i \in I}))$$ aunque no tengo ni idea de si estoy asociando mi paréntesis correctamente aquí, la expresión es demasiado complicada para que yo la maneje.

• entonces necesito mostrar que hay un elemento neutro en $G$ eso significa que para todos $(x_i)_{i \in I}$ hay un elemento tal que $$(x_i)_{I \in I} \circ e = e \circ (x_i)_{i \in I} = (x_i)_{i \in I} $$ ya que estamos hablando de familia de funciones tal vez la suposición correcta sería el mapeo de identidad, pero estoy adivinando aquí.

• finalmente, necesito mostrar que existe un elemento inverso para cada elemento de $G$ para que cuando lo componga con $ \circ $ Consigo la identidad de nuevo.

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Aquí termina mi viaje, o comienza, no hay nada que pueda añadir. Apreciaría algunas patadas iniciales que me muestren cómo ponerme en marcha, cómo empezar a formular una "prueba" o cómo uno puede pensar en todas estas cosas de arriba. Perdón por el desorden.

Answer 1

Creo que es más fácil considerar un conjunto de índices específico, trabajar una prueba con él y luego generalizar. Tomemos, por ejemplo, $I = \mathbb{N}$ :

Sea $\{ (G_1, \circ_1), (G_2, \circ_2), \dots \}$ sea una familia de grupos. Sea $G:= G_1 \times G_2 \times \dots$ . Un elemento $x$ de $G$ es la secuencia $x = (x_1, x_2, \dots)$ donde $x_i \in G_i$ . Definir el producto en $G$ como $$ (x_1, x_2, \dots) \circ (y_1, y_2, \dots) := (x_1 \circ_1 y_1, x_2 \circ_2 y_2, \dots).$$ Demuestra que $(G, \circ)$ es un grupo.

(Si le resulta demasiado confuso, empiece por $I = \{1,2\}$ .) Ahora debería ser un poco más fácil ver lo que está pasando. Por ejemplo, es sencillo demostrar que el elemento de identidad en $G$ est $e = (e_1, e_2, \dots)$ donde $e_i$ es el elemento de identidad en $G_i$ .

Lo único que hace un conjunto de índices (aparte de añadir oscuridad) es añadir una forma de hablar del mismo problema cuando $I$ es incontable.

Answer 2

Ya casi estás ahí. La idea clave es la definición que das: $$ \times_ {i \in I} G_i:= \lbrace x:I \to \bigcup_ {i \in I} G_i \mid x(i) \in G_i , \forall i \in I \rbrace $$ Así que, este nuevo espacio que estás definiendo es un conjunto de funciones (puedes llamar a una de estas funciones $x$ o $(x)_{i \in I}$ siempre y cuando sepas qué son y dónde se ejecutan los índices), donde cada función se define por su valor en cada $i \in I$ .

A continuación se define el "producto" de dos de estas funciones de forma puntual, es decir, definimos la función $$ (x \circ y)(i) := x(i) \circ_iy (i), \quad \forall i \in I $$ Es sencillo ver que esto es de nuevo un elemento de $ \times_ {i \in I} G_i$ ya que cada componente es de nuevo un elemento de su respectivo grupo.

Finalmente, veamos que todos los axiomas del grupo se mantienen para este conjunto con la operación que definimos:

Asociatividad : Considere las funciones $x,y,z \in \times_ {i \in I} G_i$ . Entonces.., $$ ((x \circ y) \circ z)(i) = (x \circ y)(i) \circ_i z(i) = (x(i) \circ_i y(i)) \circ_i z(i) = \cdots $$ ahora usamos que el producto de $G_i$ es asociativa, de lo que se deduce que $$ \cdots = x(i) \circ_i (y(i) \circ_i z(i)) = x(i) \circ_i (y \circ z)(i) = (x \circ (y \circ z))(i) $$ Ya que esto es cierto para todos $i \in I$ tenemos que $((x \circ y) \circ z) = (x \circ (y \circ z))$ (¡como funciones!).

Elemento neutro : Como han visto, queremos obtener todas las propiedades deseadas de un grupo usando que cada uno $G_i$ es un grupo, así que para obtener el elemento neutro en el producto definimos la función $e$ de tal manera que $e(i)=e_i$ donde $e_i$ es el elemento neutral del grupo $G_i$ .

Considere un arbitrario $x \in \times_ {i \in I} G_i$ . Entonces.., $$ (e \circ x)(i) = e(i) \circ_i x(i) = e_i \circ_i x(i) = x(i) $$ Ya que esto se aplica a cada $i \in I$ tenemos que $e \circ x = x$ puedes probar que $x \circ e = x$ exactamente de la misma manera.

Inversores : Estoy seguro de que a estas alturas ya sabrás cómo definimos las inversiones. Considere cualquier $x \in\times_ {i \in I} G_i$ entonces definimos $x^{-1} \in \times_ {i \in I} G_i$ de tal manera que $$ x^{-1}(i) = x(i)^{-1}\,\, \text {(this is the inverse in the group $ G_i $).} $$ Así que tenemos que $$ (x \circ x^{-1})(i) = x(i) \circ_i x^{-1}(i) = x(i) \circ_i x(i)^{-1} = e_i = e(i) $$ El otro producto se hace exactamente en la misma forma y terminamos.

La primera vez que se trata de este tipo de objetos es difícil tener en cuenta que estamos tratando con un espacio de funciones no elementos del grupo per se . Como se señaló en otra respuesta, en algunos casos esto permite pensar en los elementos del producto como $n$ -tuplas de elementos de los grupos (cuando $I$ es finito), pero eso puede ser engañoso cuando se trata del caso general.