Resolver estas ecuaciones funcionales: $\int_0^1\!{f(x)^2\, \mathrm{dx}}= \int_0^1\!{f(x)^3\, \mathrm{dx}}= \int_0^1\!{f(x)^4\, \mathrm{dx}}$

Question

Que $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función continua tal que $$\int_0^1\!{f(x)^2\, \mathrm{dx}}= \int_0^1\!{f(x)^3\, \mathrm{dx}}= \int_0^1\!{f(x)^4\, \mathrm{dx}}$ $ determinar todas esta funciones $f$.

Hasta ahora, he podido mostrar que $\int_0^1\!{f(x)^t\, \mathrm{dx}}$ $t \geq 2$ constante. Se agradecería la ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta %#% $ $$\int_0^1 f(x)^2 (1 - f(x))^2 \; dx = \int_0^1 \left(f(x)^2 - 2 f(x)^3 + f(x)^4\right) \; dx = 0$ #% siempre debe ser $f(x)(1-f(x))$. $0$ Es continuo, las soluciones sólo están $f$ y $f(x)=0$.

Answer 2

Calcular la diferencia de la primera y la segunda integral luego segundo y tercero.

$$\int_0^1f^2(x)-f^3(x)dx=0$$ $$\int_0^1f^3(x)-f^4(x)dx=0$$

Restamos ambas ecuaciones: $$\int_0^1f^2(x)-2f^3(x)+f^4(x)dx=0$ $ $$\int_0^1f^2(x)\left[1-2f(x)+f^2(x)\right]dx=0$ $ $$\int_0^1f^2(x)(1-f(x))^2dx=0$ $

Mira el integrando consiste en el producto de dos plazas. Sólo puede convertirse en $0$ si $f(x)=0$ o $f(x)=1$.