Irreducibilidad del polinomio$f (x) = x^{2p} − x ^p + t$

Question

Si$k$ es un campo de la característica$p > 0$ y$f (x) = x^{2p} − x ^p + t \in k(t)[x]$, ¿cómo podemos demostrar que$f (x)$ es un polinomio irreducible en$k(t)[x]$ y que$f (x)$ es inseparable?

Si$f(x)$ es irreductible, entonces$D_xf(x) = 0 \implies( f, D_xf) = ( f, 0) = f$. Por lo tanto, si$f(x)$ es irreducible, entonces$( f, D_xf) \neq 1 \implies f(x)$ es inseparable.

Answer 1

Aquí hay una pista: observe que$k(t)=k(\tau)$ cuando$\tau=1/t$. Si$\rho$ es una raíz de$f$, ¿qué polinomio en$k(\tau)[x]$ cumple$1/\rho$?

Answer 2

$K$ es un campo$\implies K[t]$ es una UFD

Por gauss lema:$f(x)$ es irreducible en$K(t)[x] \iff f(x)$ es irreducible en$K[t][x]$

entonces $K[t][x]= K[x][t]$

$f(x)$ es irreductible en$K[x][t]$ siendo un polinomio lineal en$K[x][t]$

por lo tanto,$f(x)$ es irreducible en$K(t)[x] $