Demostrar que .

Question

Quiero demostrar que la $\text{int(intA)=int(A)}$ (y estamos en el espacio métrico). Tengo dos preguntas con respecto a este.

(1). Se me ocurrió con esta prueba, pero no sé si es correcta o no. Primero yo uso uno de los resultados en el libro, del que dice que " $\text{A}$ es abierto si y sólo si $\text{A=intA}$. Un conjunto es un conjunto abierto si todos los puntos en que es un conjunto de puntos del interior, por lo $\text{int(A)}$ es un conjunto abierto. Por lo $\text{int(intA)=int(A)}$.

(2). Ahora, estoy pensando en usar abrir bolas para ello. Parece bastante fácil probar que $\text{int(intA)}\subset \text{int(A)}$. Pero no sé cómo ir alrededor de la otra forma.

Answer 1

Tu prueba está bien. Es posible que desee limpiar un poco.

Usted podría decir esto:

1. $U = int(A)$ Esta abierto.

2. Desde un teorema en clase, U está abierta si y solo si$int(U) = U$

3. Por lo tanto$int(U) = int(int(A)) = U = int(A)$.

Answer 2

Entonces, acepta que int (int ($A$))$\subseteq \text{int}(A)$.

Supongamos que$x \in \text{int}(A)$. Dado que$\text{int}(A)$ está abierto, hay algunos$\epsilon > 0$ tales que$B(x, \epsilon) \subseteq \text{int}(A)$. Pero esto significa precisamente$x \in \text{int}(\text{int}(A))$ según la definición del interior. Por lo tanto,$\text{int}(A) \subseteq \text{int}(\text{int}(A))$, como se desee.

Nota : utilicé la caracterización del interior de un conjunto$B$ como el conjunto de elementos de$B$, de modo que puede encontrar una bola alrededor del elemento contenido en$B$. Específicamente,$\text{int}(B) = \{ x \in B \mid \exists \epsilon_{x} > 0 \text{ with } B(x, \epsilon) \subseteq B \}$.

Answer 3

Por definición (dado que usted etiqueta como topología general y no como espacios métricos )$\operatorname{int}(A)$ es la unión de todos los subconjuntos abiertos de$A$,$$ \operatorname{int}(A)=\bigcup_{U\subseteq A, U\text{ open}}U.$ $ Entonces$\operatorname{int}(\operatorname{int}(A))$ es la unión de : todos los conjuntos abiertos$U$ que están contenidos en la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en$A$. Pero como cada conjunto abierto$U$ está contenido en$A$, y cualquier subconjunto abierto contenido en$A$ también está contenido en la unión$\operatorname{int}(A)$, vemos que$\operatorname{int}(\operatorname{int}(A))$ es solo la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en$A$, es decir, es igual a$\operatorname{int}(A))$.

Answer 4

Si$\tau$ denota la topología, entonces$\operatorname{int}\left(B\right):=\bigcup\mathcal{U}_{B}$ donde$\mathcal{U}_{B}:=\left\{ U\in\tau\mid U\subseteq B\right\} $.

Como una unión de conjuntos abiertos$\operatorname{int}\left(B\right)$ es un conjunto abierto en sí mismo.

Si$B$ está abierto, entonces$B\in\mathcal{U}_{B}$ y, por consiguiente,$$\operatorname{int}\left(B\right)=B$ $

Aplicando eso en$B=\operatorname{int}(A)$, que, como se dijo, está abierto, da:$$\operatorname{int}\left(\operatorname{int}\left(A\right)\right)=\operatorname{int}\left(A\right)$ $