Prueba de que una función cuya derivada tiene límite infinito no es uniformemente continua

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema de análisis: demostrar que si $f$ es diferenciable en un intervalo, posiblemente infinito $(a, b)$ y si $\lim_{x\to b}f'(x)=\infty$ entonces $f$ no es uniformemente continua en $(a, b)$ .

He probado varios enfoques, pero el que me ha llevado más lejos hasta ahora es establecer que hay algún intervalo $[m, b)$ en el que $f$ es creciente, entonces introduciendo una secuencia de Cauchy no decreciente $\{x_n\}$ en $[m, b)$ convergiendo a $b$ . Entonces puedo demostrar que $\{f(x_n)\}$ es no decreciente, y por lo tanto tiene un límite.

Intuitivamente, sé que el límite debe ser $\infty$ y una vez que lo demuestre, se deduce que $\{f(x_n)\}$ no es Cauchy. Entonces, como $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy en $(a, b)$ pero $\{f(x_n)\}$ no es Cauchy, se deduce que $f$ no es uniformemente continua. Sin embargo, no consigo resolver los detalles para demostrar que $\lim f(x_n)=\infty$ . Supongo que tengo que usar el Teorema del Valor Medio, ya que es el enfoque principal de esta sección en el libro y también es la única manera que se me ocurre de relacionar la función con su derivada. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

En un intervalo infinito, digamos $[a,\infty)$ , si $\lim_{x \to \infty} f'(x) = + \infty$ entonces $f$ no es uniformemente continua.

Según el MVT, para cualquier $x <y$ en $[a,\infty)$ existe $\xi$ con $x < \xi < y$ tal que $|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)|\, |x- y|$ .

Si $f'(x) \to +\infty$ entonces para cualquier $\delta >0$ existe $K> a$ de manera que si $x > K$ entonces $|f'(x)| > 2/\delta.$

Elección de cualquier $x > K$ y $y> x$ tal que $ |x - y| = \delta/2 < \delta$ tenemos

$$|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)| \, |x - y| = |f'(\xi)| \frac{\delta}{2} > \frac{2}{\delta}\frac{\delta}{2} = 1.$$

Por lo tanto, $f$ no es uniformemente continua.

En un intervalo finito, la proposición no es verdadera. Esto se puede ver con el contraejemplo $f(x) = \sqrt{x}$ en $(0,1)$ donde $f$ es continua en el intervalo compacto $[0,1]$ -- por lo tanto, uniformemente continua en $(0,1)$ -- pero, $f'(x) = 1/\sqrt{x} \to +\infty$ como $x \to 0+$ .