Demostrar que G es conmutativo.

Question

Supongamos que $g^2=e$ para todos los elementos $g$ de un grupo $G$ . Demostrar que $G$ es conmutativo.

¿Cómo puedo hacer esta prueba?

Entiendo lo que significa $g^2=e$ y un grupo.

Answer 1

$g^2 = 1$ para todos $g \in G \implies g^{-1} = g$ .

dejar $a,b \in G$ . Tenemos $ab = (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} = ba.$ Así, $G$ es abeliana.

Answer 2

Una pista: Básicamente sólo tienes que hacer un movimiento: Sabes que para cualquier $g, h \in G$ tienes $(gh)^2 = e$ . Tratando de ampliar el juego con esa ecuación.

Answer 3

Recuerda que lo que quieres probar es $\forall g, h \in G, gh=hg$ y lo que sabes es $e=hggh = hghg = e$ .