El Teorema de Liouville Considere el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias: $$\etiqueta{1} \dot{\mathbf{x}}=A(t)\mathbf{x}(t).$$ Let $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ ser las soluciones de (1). Definir el Wronskian determinante en $$W(t)=\det \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \ldots & \mathbf{x}_n\end{bmatrix}.$$ Luego tenemos el siguiente relación diferencial para $W(t)$: $$\etiqueta{L} \dot{W}(t)=\verb+seguimiento+\, (t)\,\cdot\,W(t).$$
Comparar con un lexema debido a Euler que me encontré en un curso de mecánica de fluidos a la que estoy asistiendo. Aquí $\mathbf{x}$ se refiere a Euleriano coordenadas y $\mathbf{y}$ se refiere a las coordenadas de Lagrange.
Euler Lema Deje $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ ser el campo de velocidad de un flujo de fluido $\mathbf{\Phi}(\mathbf{y}, t)$, lo que significa que: $$\begin{array}{cc} \displaystyle \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{u}(\mathbf{x}(t), t) \\ \mathbf{x}(0)=\mathbf{y}\end{casos}, & \mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(\mathbf{y}, t)\end{array}.$$ Indicar con $J$ el Jacobiano de la gradiente de deformación, que es $$J(\mathbf{y}, t)=\det D_{\mathbf{y}}\mathbf{\Phi}(\mathbf{y}, t).$$ Entonces tenemos la siguiente relación diferencial para $J$: $$\tag{E}\frac{dJ}{dt}(t)=(\verb+div+\,\mathbf{u})\,J.$$
Incluso si está formulado con el lenguaje de la mecánica de fluidos, este lema es esencialmente un resultado en ecuaciones diferenciales ordinarias, como el teorema de Liouville. Mi pregunta es si de Euler lema puede ser visto como una versión no lineal de Liouville del teorema y, si bien uno de los dos resultados pueden ser derivadas a partir de otras.
Gracias por la lectura.
