En esta respuesta, me demostró la siguiente declaración:
Para cada entero positivo de $n$, hay un número finito de no-racional de los números complejos de $x$ tales que $x^n$ y $(x+1)^n$ son racionales. Estos números complejos tienen todos la forma $$x(a,b)=\frac{\zeta^b-\zeta^a}{1- \zeta^b},$$ donde $\zeta$ es una primitiva de $n$th raíz de la unidad y de $a,b$ son diferentes de cero elementos de $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
Sin embargo, una búsqueda con un equipo sugiere que aún hay un número finito de estos números complejos sobre todo $n$. Me han contado de $26$ de ellos.
Deje de $S_n$ el conjunto de no-racional de los números complejos tales que $x^n$ y $(x+1)^n$ son racionales. Desde $x^{nm}$ y $(x+1)^{mn}$ son racionales si $x^n$ y $(1+x)^n$, de ello se sigue que $S_n \subseteq S_{nm}$. Vamos $S= \varinjlim S_{n!}$. Este es el conjunto de todos los no-racional de los números complejos de $x$ para el cual existe una $n$ que $x^n$ y $(x+1)^n$ son racionales.
Pregunta: Es $S$ finito?
He comprobado con un equipo que
$$S_{12}=S_{4!} = S_{5!}=S_{6!}$$ y que $S_n \subseteq S_{12}$ para $n<100$.
La Pregunta Es $S=S_{12}$? En otras palabras, si $x^n$ y $(x+1)^n$ son racionales, es cierto que $x^{12}$ y $(x+1)^{12}$ son racionales?
Miqueas ha señalado en un comentario a la respuesta de David que cualquier $s \in S$ debe ser una ecuación cuadrática irracional. Así, la finitud de $S$ pasaría si uno pudiera probar que un número finito de números de la forma $x(a,b)$ son cuadrática irrationals. En orden para que esto sea cierto, debe ser que $x(a,b)^{\sigma^2} = x(a,b)$ $\sigma \en \text{Ga}(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q) = (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$. Esto significa que debemos tener
$$\frac{\zeta^{c^2b}-\zeta^{c^2a}}{1- \zeta^{c^2b}} = \frac{\zeta^b-\zeta^a}{1- \zeta^b}$$ para cualquier $c \in (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$. Tal vez alguien puede extraer una condición explícita en $(a,b)$ de esto?...
El conjunto $S_{12}$ se compone de $26$ de números complejos. Aquí está una lista de ellos (aquí escrita en términos de una primitiva de $24$th raíz de la unidad $\zeta$):
$$-1/3\zeta^4 - 1/3$$
$$-1/2\zeta^4 - 1/2$$
$$-2/3\zeta^4 - 2/3$$
$$-\zeta^4 - 1$$
$$-1/2\zeta^6 - 1/2$$
$$-\zeta^6 - 1$$
$$\zeta^4$$
$$-1/2\zeta^4$$
$$-\zeta^4$$
$$-2\zeta^4$$
$$2\zeta^4 - 1$$
$$\zeta^6$$
$$2/3\zeta^4 - 1/3$$
$$-2/3\zeta^4 + 1/3$$
$$-\zeta^6$$
$$-2\zeta^4 + 1$$
$$2\zeta^4 - 2$$
$a$z^4 - 1$$
$$1/2\zeta^4 - 1/2$$
$$-\zeta^4 + 1$$
$$\zeta^6 - 1$$
$$1/2\zeta^6 - 1/2$$
$$\zeta^4 - 2$$
$$2/3\zeta^4 - 4/3$$
$$1/2\zeta^4 -1$$
$$1/3\zeta^4 - 2/3$$
Aquí es donde se encuentran en el plano complejo:
Aquí está un breve resumen del comportamiento de la función $f(n):=\#S_n$, como una parcela de $f(n)$ para $n=2$ para $n=100$:
