Cálculo: probar que la ecuación tiene al menos 3 raíces reales.

Question

$$(x + 1)^{1/2} =\frac{1}{(x − 2)^2}$$

Ok, yo sé cómo mostrar cómo una ecuación tiene al menos $1$ bienes raíces o exactamente $1$ bienes raíces, pero para esta ecuación, sé que no es, de hecho, en menos de $34 raíces reales. Pero no sé, cómo lo demuestran. Esta son mis soluciones hasta ahora:

Deje $f(x)$ ser las ecuaciones anteriores.

$$f(0) = 3 , \ f(2) = -1$$

Desde $f(x)$ es continuo desde la $[0 , 2]$, por el teorema del valor intermedio, $f(c) = 0$ algunos $c\in (0,2)$.

$f(x)$ tiene al menos $1$ bienes raíces.

Supongamos que $f$ tiene al menos dos raíces reales $c_1 , c_2 \in \Bbb{R}$ donde $c_1 < c_2 $, yo.e . $f(c_1) = 0$ , $f(c_2)=0 \Rightarrow f(c_1) = f(c_2)$

Desde $f(x)$ es continua en a $[c_1,c_2]$ y diferenciable en a $(c_1,c_2)$, por el teorema de Rolle, existe $d \in (c_1,c_2)$ tal que $f'(d) = 0$. Voy a mostrar que no existe valor de $x$ tal que $f'(d) = 0$. Por lo tanto llego a la conclusión de que hay, al menos, $2$ bienes raíces.

¿Cómo puedo ir desde aquí y demostrar que hay al menos $3$ bienes raíces?

Answer 1

Por $\;x\ge-1\;$:

PS

Y

PS

Así tienes ceros al menos en$$\sqrt{x+1}=\frac1{(x-2)^2}\iff f(x):=(x-2)^4(x+1)-1=0$

Answer 2

Insinuación

Si la función es$$f(x)=\sqrt{x+1}-\frac{1}{(x-2)^2}$$ you noticed the discontinuity at $ x = 2$ and the fact that the function is only defined if $ x \ geq -1$. You can notice that $ f (-1) = - \ frac {1} {9} <0$, $ f (0) = \ frac {3} {4}> 0$,$ f (3) = 1> 0$; moreover, $$f(2+\epsilon)=\sqrt{3+\epsilon }-\frac{1}{\epsilon ^2} <0 $$ $$f(2-\epsilon)=\sqrt{3-\epsilon }-\frac{1}{\epsilon ^2}<0$ $ Entonces, tienes tres raíces (al menos).

Por supuesto, podrías construir una función después de cuadrar las piezas; esto lleva, como mostró Timbuc, a una ecuación pentic$$g(x)=x^5-7 x^4+16 x^3-8 x^2-16 x+15$ $ que tiene las mismas raíces más dos adicionales (que son complejas). Debes saber que esto puede ser una consecuencia de eso.