Si un campo vectorial no tiene divergencias y no tiene curvas, ¿es ese campo vectorial = 0?

Question

Solo una pregunta simple, del título del hilo, es un campo vectorial = 0 si la divergencia es 0 y el rizo es 0? Tuve problemas para encontrar una respuesta en cualquier lugar en línea, la prueba de por qué o por qué no sería útil, ¡gracias!

$$\nabla \cdot \vec{F} = 0$ $$$\nabla \times \vec{F} = 0$ $$$\vec{F} = ?$ $

Answer 1

No. Para tener una idea de lo que es, vamos a $\phi$ ser un no-constante armónico función de lo $\nabla^2 \phi = 0$ pero $\nabla \phi \ne 0$. Set $\mathbf F = \nabla \phi \ne 0$; luego, a Continuación, $\nabla \times \mathbf F = \nabla \times \nabla \phi = 0, \,$ desde el rizo de un gradiente siempre se desvanece. También, $\nabla \cdot \mathbf F = \nabla \cdot \nabla \phi = \nabla^2 \phi = 0$. La divergencia y curl de $\mathbf F$ ambos desaparecen, pero no $\mathbf F$!

Esta línea de razonamiento puede, como cinta o película, volver a ser herida y ejecutar "hacia atrás": si $\mathbf F \ne 0$$\nabla \times \mathbf F = 0$, entonces (a nivel local, al menos) no es una función de $\phi$$\mathbf F = \nabla \phi \ne 0$; si ahora también contamos $\nabla \cdot \mathbf F = 0$,$\nabla^2 \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot \mathbf F = 0$, e $\phi$ es armónico.

Los ejemplos clásicos de este campo se puede encontrar en la teoría elemental de electromagnetismo: en la ausencia de fuentes, es decir, las cargas y corrientes, estáticos (no variable) los campos eléctricos $\mathbf E$ y los campos magnéticos $\mathbf B$ tiene fuga de divergencia y curl: $\nabla \times \mathbf B = \nabla \times \mathbf E = 0$, e $\nabla \cdot \mathbf B = \nabla \cdot \mathbf E = 0$; el potencial electrostático de la función $\phi$ tal que $\mathbf E = -\nabla \phi$ $\nabla^2 \phi = 0$ existe en virtud de estos hechos; una afirmación similar se cumple para la $\mathbf B$ campo.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre (como ol' de James Clerk M. nos ha enseñado),

Fiat Lux!!!

Answer 2

No. Simplemente considere un campo de vector constante distinto de cero, es decir,$$V=(a,b,c)$ $ para algunas constantes no cero$a, b, c$. Luego, el rizo de$V$ es cero vector, y la divergencia de$V$ es$0$.