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encontrar una función que se ajuste a esta serie de potencias

He intentado encontrar una expresión que se ajuste a la serie de potencias siguientes pero no lo he conseguido, parece casi la derivada de arcsin, pero ...no, no lo es:

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(2n)!}{n!}$$

Por supuesto $-1<x<1$ Tal vez sea muy conocido, pero no lo he encontrado, ni por integración ni por derivación, ni simplemente buscando. Supongo que no existe pero me gustaría una confirmación.

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Esta suma diverge para todos los $x\ne 0$ .

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Sip, he preguntado demasiado rápido, eso es bastante obvio ahora que me lo dices.

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Franklin P. Dyer Puntos 174

Esto es malo.

Dejemos que $$a_n=\frac{x^n(2n)!}{n!}$$ Entonces $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{x^{n+1}(2n+2)!}{(n+1)!}}{\frac{x^n(2n)!}{n!}}$$ $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{x(2n+1)(2n+2)}{n+1}$$ y por lo tanto, no importa lo que $x$ es (excepto $x=0$ ), $$\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\lim_{n\to\infty} \bigg|\frac{x(2n+1)(2n+2)}{n+1}\bigg |=\color{red}{\infty}$$ Y así la suma diverge para todos los valores no nulos de $x$ .

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¿Quién necesita la convergencia?

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Sí, gracias, puede que estuviera borracho ese día. No recuerdo por qué lo necesitaba.

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@kalish Si crees que esta u otra respuesta ha respondido a tu pregunta, haz clic en el botón verde $\color{green}\checkmark$ a un lado para aceptar la respuesta.

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Simple Art Puntos 745

Como muestra Nilknarf, la suma diverge, sin embargo, es posible obtener una Suma Mittag-Leffler .

Tendremos que exigir $\Re(x)\le0$ y obtenemos

\begin{align}\mathcal M_2\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{n!}x^n&=\int_0^\infty e^{-t}\left(\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}x^nt^{2n}\right)~\mathrm dt\\&=\int_0^\infty\exp(xt^2-t)~\mathrm dt\\&=\frac{\pi^{1/2}}{2e^{1/4x}\sqrt{-x}}\left(1-\operatorname{erf}\left(\frac1{2\sqrt{-x}}\right)\right)\end{align}

Así que supongo que, si fuera algo, sería eso, donde $\operatorname{erf}(z)$ es el función de error .

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No he comprobado el radio y no recuerdo por qué necesitaba esa expresión, pero es seguro que apareció en una situación física. Gracias a todos por vuestras amables respuestas. Edit: ahora lo recuerdo, y se trataba de integrar una gaussiana o algo relacionado con una gaussiana, así que gracias.

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