Paseo aleatorio inferior sesgado sesgado

Question

Tengo un paseo aleatorio con las siguientes reglas:

• Se inicia a las 2
• En cada paso se va por 1 con probabilidad .4, por uno con oportunidad .4 y 2 con posibilidad .2
• El paseo termina si llega a 0

Quiero saber dos cosas...

1. En primer lugar este es garantizado a terminar en algún momento y creo que no es sino la confirmación de que sería bueno. Si no puede una probabilidad dada no terminar?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la caminata tener un valor máximo dado (por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que llegar a 10, pero no más, antes de terminar en cero).

Y para que lo sepan yo solía estudiar matemáticas en la universidad, pero eso fue hace un tiempo ahora, así que mejor asumir que sé lo básico, pero trate de no asumir demasiado conocimiento de mi parte en una respuesta. :) Yo también nunca fue grande en las estadísticas. ;-)

Traté de resolver el problema mediante una ecuación en las diferencias, pero me quedé atrapado tratando de que. No estoy seguro de que era el camino correcto para ir de verdad...

Answer 1

Puedo manejar la parte 1. Estoy pensando en la parte 2, pero parece bastante difícil en general - voy a editar esta respuesta si puedo averiguar.

Para la parte 1, mira la probabilidad de que el tiempo va un espacio a la izquierda. Llamar a este P. Entonces la probabilidad de que el tiempo va dos espacios a la izquierda va a ser la probabilidad de ir de un espacio a la izquierda, y luego ir a otro espacio de la izquierda: $P^2$. Del mismo modo, la probabilidad de ir de tres plazas de la izquierda es $P^3$, et cetera...

Ahora, directamente desde el paseo aleatorio de los parámetros, tenemos:

$P=.4+.4P^2+.2P^3$

Por qué? Bien, tenemos una .4 oportunidad de ir inmediatamente a la izquierda, en cuyo caso hemos terminado ($.4$). Tenemos una .4 oportunidad de empezar por ir a la derecha, en cuyo caso tenemos a nuestra forma de trabajo a la izquierda dos espacios de tiempo ($.4P^2$). Y tenemos un .2 oportunidad de empezar por ir a la derecha dos espacios, en cuyo caso tenemos que ir a la izquierda tres espacios de tiempo ($.2P^3$).

WolframAlpha nos dice que de las tres soluciones de esta ecuación, uno es negativo y los otros dos son P=1 y P=~0.561553.

La negativa de la solución es obviamente erróneo. La P=1 solución no es obviamente erróneo, pero desde su paseo aleatorio tiende a aumentar, hay una probabilidad positiva de que se acaba de espiral hacia el infinito. Por lo tanto P es acerca de 0.561553, y la probabilidad de terminar en el punto de partida de 2 es $0.561553^2$ que es aproximadamente la $0.315341$.