¿Es$\mathbb{Q}$ un espacio vectorial sobre$\mathbb{Z}$ o$\mathbb{Q}$?

Question

¿Es $\mathbb{Q}^n$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}$ o sobre $\mathbb{Q}$ ?

$\mathbb{Q}^n$ claramente no es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ , porque la multiplicación escalar de algunos $q \in \mathbb{Q}$ por $\pi$ genera $\pi q$ , lo cual es irracional.

Answer 1

Usted no puede tener un espacio vectorial sobre $\Bbb Z$. Por definición, un espacio vectorial se requiere más de un campo. Si le quitas el requisito de campo, lo que está a la izquierda es el de las calles de un módulo. Y sí, $\Bbb Q^n$ es definitivamente un $\Bbb Z$-módulo.

Dicho esto, hay una lista de $10$ requisitos (más o menos, que varía ligeramente) para un espacio como el $\Bbb Q^n$ a ser un espacio vectorial sobre un campo como el de la $\Bbb Q$. Todos ellos deben ser fácilmente verificable. Así que sí, $\Bbb Q^n$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb Q$.

Answer 2

$\mathbb{Q}^n$ no puede ser un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}$ desde $\mathbb{Z}$ no es un campo.

A ver que $\mathbb{Q}^n$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ usted podría probar, primero, que cada campo $\mathbb{F}$ es un espacio vectorial sobre sí mismo y, a continuación, ya que el producto de espacios vectoriales es un espacio vectorial $\mathbb{F}^n$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ e lo $\mathbb{Q}^n$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ desde $\mathbb{Q}$ es un campo.

Answer 3

$\Bbb Z$ es un anillo pero no un campo. Ver módulos sobre anillos para una generalización de espacios vectoriales sobre campos.

$\Bbb Q$ sería un $1$ espacio vectorial vectorial sobre $\Bbb Q$ . $\Bbb Q^n$ un $n$ -dimensional.