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Operador autoadjunto y continuo en un espacio de Hilbert complejo

Dejemos que $T\colon H\to H$ sea un operador continuo autoadjunto en un espacio de Hilbert complejo. Demostrar:

$$ \lVert (T\pm i\mbox{Id})x\rVert^2=\lVert Tx\rVert^2+\lVert x\rVert^2~\forall~x\in H. $$

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¿Cómo puedo demostrarlo?

Empecé con $$ \lVert (T\pm i\mbox{Id})x\rVert^2=\langle Tx\pm ix,Tx\pm ix\rangle. $$

3voto

Matt Puntos 2318

Usted tiene $$\| T(x) + ix\|^2 = \|T(x)\|^2 + \|x\|^2 + \langle T(x), ix\rangle + \langle ix, T(x)\rangle = \|T(x)\|^2 + \|x\|^2 - i\langle T(x), x\rangle + i \langle x, T(x)\rangle$$

Ahora sabemos que $\langle x, T(x)\rangle = \langle T(x), x\rangle$ Por lo tanto, nuestra conclusión es inmediata.

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