Una pregunta sobre ciertas estructuras de "magma"

Question

Dejemos que $S$ sea un conjunto no vacío y $*$ sea una operación binaria sobre $S$ tal que se cumplen los siguientes axiomas:

1. por cada $x,y,zS$ , $x*(y*z)=(x*z)*y$ ;

2. $(S,*)$ tiene un identidad correcta es decir, existe $eS$ tal que $a*e=a$ para cada $aS$ entonces es coherente que $(S,*)$ no tiene identidad de la izquierda ?

Si $(S,*)$ satisface 1. y tiene una identidad izquierda, entonces puedo demostrar que $(S,*)$ es conmutativo y por lo tanto tiene una identidad derecha, pero si $(S,*)$ satisface 1. y tiene una identidad derecha, entonces no estoy siendo capaz de demostrar la existencia de una identidad izquierda, por eso hago la pregunta.

Answer 1

¿No es cualquier semigrupo cero a la izquierda con más de 1 elemento un contraejemplo a esta pregunta? A semigrupo cero a la izquierda es un conjunto $S$ con una operación binaria asociativa $*$ tal que $x*y=x$ para todos $x,y\in S$ . En este caso:

1. por cada $x,y,z\in S$ , $x=x*y=x*(y*z)=(x*z)*y=x*y=x$ y

2. si $e\in S$ es cualquier elemento, entonces $x*e=x$ para todos $x\in S$ ;

Pero $S$ no tiene identidad izquierda. Si $f\in S$ es arbitraria, entonces $f*x=f$ para todos $x\in S$ . Desde $|S|>2$ se deduce que hay $x\in S$ tal que $x\not=f$ y así $f*x\not=x$ . Así, $f$ no es una identidad de izquierdas, y como era arbitraria $S$ no tiene una identidad de izquierda.