Identidad tangente inversa difícil

Question

Pruebalo:

PS

Multiplico el interior de$$\arctan\left(\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1-x}} \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(x), -\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le 1$ por el conjugado del denominador.

Yo obtengo:

PS

Pero eso sigue siendo muy difícil.

¿Alguna SUGERENCIA, no hay soluciones?

Answer 1

Dejar $\dfrac12\arccos x=y\implies x=\cos2y$

y$-\dfrac1{\sqrt2}\le x\le1\implies-\dfrac1{\sqrt2}\le\cos2y\le1$

Usando la definición de Valores principales de$\arccos,0\le2y\le\dfrac{3\pi}4\iff0\le y\le\dfrac{3\pi}8 \ \ \ \ (1)$

$\implies\sin y,\cos y\ge0$

$\implies\sqrt{1-x}=\sqrt{1-\cos2y}=+\sqrt2\sin y$

$\implies\sqrt{1+x}=\sqrt{1+\cos2y}=+\sqrt2\cos y$

Ahora$$\arctan\left(\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1-x}} \right)=\cdots =\arctan\left[\tan\left(\dfrac\pi4-y\right)\right] $ $

cual es $\dfrac\pi4-y$

si$-\dfrac\pi2\le\dfrac\pi4-y\le\dfrac\pi2\iff\dfrac{3\pi}4\ge y\ge-\dfrac\pi4$ lo satisface$(1)$

Answer 2

Dado que$$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{1+x+1-x-2(\sqrt{1+x})(\sqrt{1-x})}{(\sqrt{1+x})^2-(\sqrt{1-x})^2}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1+x-(1-x)}\right)$$$$ = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1- \ sqrt {1-x ^ 2}} {x} \ right)$$ Now, let $ \ color {azul} {x = \ sin \ theta}$ ($ \ implica \ color {azul} {\ theta = \ sin ^ {- 1} x = \ frac {\ pi} {2} - \ cos ^ {- 1} x}$ $ \ forall \ color {red} {- 1 \ leq x \ leq 1}$) & plug it in the above expression we get $$=\tan^{-1}\left(\frac{1-\sqrt{1-(\sin\theta)^2}}{\sin\theta}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{1-\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\right)$$ $$=\tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\right)$% # PS

Answer 3

Al revés, dejemos

PS

$$\arctan\left(\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1-x}} \right) =y$ y$\implies -\dfrac\pi2\le y\le\dfrac\pi2\ \ \ \ (1)$

Aplicando Componendo y dividendo ,$\tan y=\dfrac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1-x}}$ $

La cuadratura que obtenemos,$$\dfrac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 - x}}=\dfrac{1+\tan y}{1-\tan y}$ $

Nuevamente aplicando Componendo y dividendo,$$\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{1+\tan^2y+2\tan y}{1+\tan^2y-2\tan y}$ $

Ahora$$x=\dfrac{2\tan y}{1+\tan^2y}=\sin2y$ (usando$-\dfrac1{\sqrt2}\le x\le1\implies-\dfrac\pi4\le2y\le\dfrac\pi2\ \ \ \ (2)$)

Finalmente,$(1)$ si$2y=\arcsin x$ que se cumple con$-\dfrac\pi2\le2y\le\dfrac\pi2$

$(2)$