Un Integrante De La Desigualdad

Question

Deje $f$ $g$ funciones reales tales que a$\int_0^\infty(f(x))^2dx<\infty$$\int_0^\infty(g(x)^2dx<\infty$. Probar que:

$$\left(\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy \right)^2\leq C\int_0^\infty(f(x))^2dx\int_0^\infty(g(y))^2dy$$

donde $C$ es una constante universal (independiente de $f$$g$)

Mi intento: el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad puedo evaluar:

$$LHS\leq(\int_0^\infty (g(y))^2dy)\times (\int_0^\infty (\int_0^\infty \frac{f(x)}{x+y}dx)^2dy)\leq$$ $$\leq(\int_0^\infty(g(y))^2dy)\times(\int_0^\infty((\int_0^\infty(f(x))^2dx)\times(\int_0^\infty\frac{dx}{(x+y)^2}))dy)\leq$$ $$\leq\left(\int_0^\infty(f(x))^2dx\int_0^\infty(g(y))^2dy\right)\times\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dxdy}{(x+y)^2}$$

que es inútil, ya que $\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dxdy}{(x+y)^2}$ no es finito.

Answer 1

Suponer sin pérdida de generalidad que $f,g$ son no negativos (con el fin de utilizar de forma segura el Teorema de Fubini), y denotan por $I$ la integral doble en el lado izquierdo. Tenemos \begin{eqnarray} I&=&\int_0^\infty g(y)\left(\int_y^\infty f(u-y)\,\frac{du}u \right)dy\\ &=&\int_0^\infty g(y)\left(\int_1^\infty f(y(v-1))\,\frac{dv}v \right)dy\\ &=&\int_0^\infty g(y)\left(\int_0^\infty f(yu)\frac{du}{u+1} \right)dy\\ &=&\int_0^\infty\left(\int_0^\infty g(y)f(uy)\, dy\right)\frac{du}{u+1}\cdot \end{eqnarray} Ahora, aplique de Cauchy-Scharz para el interior de la integral: esto le da \begin{eqnarray} \int_0^\infty g(y)f(uy)\, dy&\leq& \Vert g\Vert_2\times \left(\int_0^\infty f(uy)^2 dy\right)^{1/2}\\ &=&\Vert g\Vert_2\times \left(\int_0^\infty f(t)^2 \frac{dt}{u}\right)^{1/2}\\ &=&\Vert g\Vert_2\times \Vert f\Vert_2\times \frac{1}{\sqrt u}\cdot \end{eqnarray} En total, obtenemos $$I\leq \Vert g\Vert_2\times \Vert f\Vert_2\times\int_0^\infty\frac{du}{(u+1)\sqrt u}\, , $$ lo que da el resultado ya que la integral en el lado derecho es finito.