Número de monomials en $a_n=a_{n-1}+(a_{n-2})^2$ con $a_1=a$, $a_2=b$

Question

Yo estaba jugando con la secuencia $a_1=a$, $a_2=b$ y la recurrencia $a_n=a_{n-1}+(a_{n-2})^2$ y sólo aparece un par de términos generales.

Por ejemplo, $a_1=a$, $a_2=b$, $a_3=b+a^2$, $a_4=b+b^2+a^2$, $a_5=a^4+2a^2b+a^2+2b^2+b$, y $a_6=b^4+2b^3+3b^2+2a^2b^2+4a^2b+b+2a^4+a^2.$

Cuando lo hice, me di cuenta de que el número de términos en $a_n$ parece ser $F_n$ donde $F$ representa los números de Fibonacci. Suponemos que esto es cierto, pero no estoy seguro de cómo acercarse a este.

Answer 1

Lo interesante de la pregunta! La secuencia del número de monomio condiciones es $1,1,2,3,5,8,14,24,44,80,152,288,560,1088,2144,\dots$ -- no Fibonacci. Por ejemplo, $a_7$ = $b + 4 b^2 + 6 b^3 + 5 b^4 + a^2 + 6 b a^2 + 10 b^2 a^2 + 8 b^3 a^2 + 3 a^4 + 6 b a^4 + 8 b^2 a^4 + 2 a^6 + 4 b a^6 + a^8$ 14 términos. La secuencia está ahora en el OEIS como secuencia A290075. Una recursividad para el número de términos es $b_n = 2 b_{n-1} +2 b_{n-2} -4 b_{n-3}$ $n\ge 6$ y hay más información en la OEIS enlace.