deje $ {t_n}$ ser la secuencia de números positivos cómo probar esta serie $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n\right)\cdot \frac{t_{n+1}+1}{t_n} $ es divergente

Question

deje $ {t_n}$ ser la secuencia de números positivos cómo probar esta serie $$\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n\right)\cdot \frac{t_{n+1}+1}{t_n} $$ es divergente gracias de antemano

Answer 1

Deje $a_n = \frac1n \frac{t_{n+1}+1}{t_n}$ ser la serie en cuestión. Si $t_n$ es limitada, a continuación, $a_n \ge 1/(n \sup t_n)$ $\sum a_n$ diverge claramente.

Por otro lado, si $t_n$ es ilimitado, entonces tenemos un aumento de subsequence $t_{n_1} < t_{n_2} < t_{n_3} < \cdots$. Pasando a un diluyente de larga podemos asumir WLOG que $n_{i+1} \ge 2n_i$ por cada $i$. Ahora podemos calcular la suma $\sum_{n_i \le k < n_{i+1}} a_k$ el uso de AM-GM. Deje $d_i = n_{i+1}-n_i$ el número de términos de esta suma. Tenga en cuenta que $$\prod_{n_i \le k < n_{i+1}} a_k > \prod_{n_i \le k < n_{i+1}} \frac1{n_{i+1}} \frac{t_{k+1}}{t_k} = \big(\frac1{n_{i+1}}\big)^{d_i} \frac{t_{n_{i+1}}}{t_{n_i}} > \big(\frac1{n_{i+1}}\big)^{d_i},$$

así que la aritmética/media geométrica de la desigualdad da

$$\sum_{n_i \le k < n_{i+1}} a_k \ge d_i \big(\frac1{n_{i+1}}\big) \ge \frac12.$$

Sumando esto a través de todos los $i$ vemos que $\sum a_n$ diverge.