Cómo encontrar una base ortonormales para $L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$?

Question

Considerar el espacio de Hilbert

$X:=L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$

Ahora, considere el operador que lleva a la segunda derivada, es decir,

$A := \partial_{x}^2$, es decir, $A: H^2(\mathbb{R},\mathbb{C}) \subset X \to X$

Necesito saber si hay$(\alpha_n) \subset \mathbb{C}$$n \in \mathbb{N}$, y una base ortonormales $\lbrace e_n : ~ n \in \mathbb{Z}_+ \rbrace$ $X$ tal que

$ A e_n = \alpha_n e_n.$

y, además, necesito calcular el $\lbrace a_n \rbrace$, por lo que supongo que necesito la base en forma cerrada. Cualquier sugerencia?