La combinación mínimo $\big|\pm p_1\pm\dots\pm p_n\big|$ para los números primos

Question

Conjetura:
La combinación mínimo $\big|\pm p_1\pm\dots\pm p_n\big|$ $0$ por extraño $n>1$ $1$ incluso $n$ donde $p_n$ $n$- ésimo primo.

Probado para $n\leq 17$ por mí y por $n\leq 28$ por usuario AugSB.

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$\min \big|\pm p_1\pm\dots\pm p_n\big|=\frac{1}{2}\big(1+(-1)^n\big)$, si $n>1$.

Answer 1

El uso de Bertrand postulado, para cualquier $n \ge 1$, $p_n<p_{n+1}<2p_n$. El uso de este voy a probar (por inducción) :

Lema : Denotando $S_n := \Big \{ \sum \limits_{k=1}^n \varepsilon_k p_k \ |\ (\varepsilon_1,...,\varepsilon_n) \in \{-1,1\}^n \Big \}$ $n \ge 6$ si $n$ es incluso (resp. impar), entonces $S_n$ contiene todos los impares (resp. incluso) enteros en $[\![-2p_n,2p_n]\!]$.

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Caso Base : si no me equivoco, $S_6$ contiene $-25,-23,...,23,25$.

Inducción : supongamos el lema de mantener por algunos $n \ge 6$. Voy a usar ese $\pm p_{n+1} + S_n \subset S_{n+1}$.

• si $n$ es impar : $S_n$ contiene todos los números enteros en $[\![-2p_n,2p_n]\!]$, y como $p_{n+1}$ es impar, $S_{n+1}$ contiene todos los enteros impares en $[\![-2p_n+p_{n+1},2p_n+p_{n+1}]\!]$, así, por el postulado de Bertrand, $S_{n+1}$ contiene todos los enteros impares en $[\![0,2p_{n+1}]\!]$. Del mismo modo $S_{n+1}$ contiene todos los enteros impares en $[\![-2p_{n+1},0]\!]$.

• si $n$ es incluso, $S_n$ contiene muchos enteros impares, y $p_{n+1}$ es impar, por lo que nos encontramos con que $S_{n+1}$ contiene muchos números enteros (lo mismo que el anterior). El lema tiene por $n+1$.

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Por tanto, para $n$ impar, $S_n$ contiene $0$, y para $n$ a, $S_n$ contiene $1$, lo que demuestra la conjetura.