Me gustaría probar el uso de una expansión de taylor de que la serie a de $\sum \ \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1$ es divergente para $n\geq 1$. ¿Cuál es la expansión para demostrarlo ?
Gracias
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Renan
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Sugerencia. Usted puede usar, como $x \to 0$, la expansión de Taylor $$ \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+O(x^3) $$ giving, for some great $n_0$, and for any $N$ greater than $n_0$,
$$ \sum_{n_0 \leq n \leq N } \left( \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1\right)=\sum_{n_0 \leq n \leq N } \frac{(-1)^n}{2\sqrt{n}}-\sum_{n_0 \leq n \leq N } \frac{1}{8n}+\sum_{n_0 \leq n \leq N } O\left( \frac{1}{n^{3/2}}\right) $$
a continuación, dejando $N \to \infty$ conduce a la divergencia de la serie en el lado izquierdo.
marty cohen
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$\begin{array}\\ \sum_{n=1}^{2m} \ \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1 &=\sum_{n=1}^{2m} \left( \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1 \right) \frac{\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}+1}{\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{2m} \frac{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{2m} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{2m} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n\sqrt{n}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{m} \frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{2n+(-1)^{2n}\sqrt{2n}}+1} +\sum_{n=1}^{m} \frac{(-1)^{2n-1}}{\sqrt{2n-1+(-1)^{2n-1}\sqrt{2n-1}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2n+\sqrt{2n}}+1} -\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}+1}\\ &=\sum_{n=1}^{m}\left( \frac{1}{\sqrt{2n+\sqrt{2n}}+1} - \frac{1}{\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}+1}\right)\\ &=\sum_{n=1}^{m} \frac{(\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}+1)-(\sqrt{2n+\sqrt{2n}}+1)}{(\sqrt{2n+\sqrt{2n}}+1)(\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}+1)}\\ &=\sum_{n=1}^{m} \frac{\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{2n+\sqrt{2n}}}{(\sqrt{2n+\sqrt{2n}}+1)(\sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}+1)}\\ \end{array} $
El denominador es $2n+O(\sqrt{n})$.
El numerador es
$\begin{array}\\ \sqrt{2n-1-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{2n+\sqrt{2n}} &=\sqrt{2n}\left(\sqrt{1-1/(2n)-\sqrt{1/(2n)-1/(2n)^2}}-\sqrt{1+1/\sqrt{2n}}\right)\\ &=\sqrt{2n}\left(\sqrt{1-1/(2n)-\sqrt{1/(2n)-1/(2n)^2}} -(1+1/(2\sqrt{2n})+O(1/n))\right)\\ &=\sqrt{2n}\left(\sqrt{1-\sqrt{1/(2n)}(\sqrt{1-1/(2n)}+1/\sqrt{2n}} -(1+1/(2\sqrt{2n})+O(1/n))\right)\\ &=\sqrt{2n}\left(\sqrt{1-\sqrt{1/(2n)}((1-1/(4n)+O(1/n^2))+1/\sqrt{2n}} -(1+1/(2\sqrt{2n})+O(1/n))\right)\\ &=\sqrt{2n}\left(\sqrt{1-\sqrt{1/(2n)}((1+1/\sqrt{2n}+O(1/n)} -(1+1/(2\sqrt{2n})+O(1/n)))\right)\\ &=\sqrt{2n}\left((1-\sqrt{1/(8n)}((1+1/\sqrt{2n}+O(1/n)) -(1+1/(2\sqrt{2n})+O(1/n)))\right)\\ &=-\sqrt{2n}\left(2\sqrt{1/(8n)}+O(1/n)\right)\\ &=-1+O(1/\sqrt{n})\\ \end{array} $
Por lo tanto cada término es $\frac{-1+O(1/\sqrt{n})}{2n+O(\sqrt{n})} =-\frac1{2n}+O(n^{-3/2}) $ y la suma de estos diverge.
