Cómo resolver $\ln(y)=\ln(x)e^{\ln(x+1)} $ ¿para x?

Question

Sé que si he tenido $y = x^{x+0} $ también conocido como $y = x^x$ Podría hacer

$y = x^x$ // $x = e^{\ln(x)}$

$y=x^{e^{\ln(x)}}$ // $\ln$ ()

$\ln(y) = \ln(x)e^{\ln(x)}$ entonces usando la función W de Lambert podría resolver directamente para $x$ .

$x=e^{W(\ln(y))}$

¿Qué hago en el caso que he expuesto en el título anterior en el que $x^x$ se convierte en $x^{(x+1)}$ No puedo utilizar directamente el registro de productos ya que el $x$ en la función exponencial y el $x$ en la función log no son iguales, ¿o me equivoco?

Answer 1

Si lo permite, puede resolver para $x$ a través de Teorema de inversión de Lagrange .

$$y=x^{x+1}$$

Inviértelo...

Ahora tengo tiempo para solucionar el problema.

$$f(x)=x^{x+1}$$

$$f(1)=1,f'(1)\ne0$$

$$f^{-1}(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{w\to1}\frac{(x-1)^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}}\left(\frac{w-1}{w^{w+1}-1}\right)^n$$

Esto no es reducible hasta donde yo sé, así que estás atascado con esto.

Si no converge para el $x$ que desea calcular, elija un $a$ tal que $f'(a)\ne0$ .

También se necesitan conocimientos básicos de cálculo.