R[x] de R = $2\mathbb{Z}$ no es Noetherian

Question

Deje $R = 2\mathbb{Z}$. Entonces R[x] no es un noetherian anillo.

Yo no entiendo por qué esto es así, porque de Hilbert teorema de la base dice

Si R Noetherian anillo, entonces R[X] es un Noetherian anillo. (de la wiki)

Supongo que $2\mathbb{Z}$ es el principal ideal de anillo:
Vamos (2), (4), (6), ... son los ideales, por lo tanto, todos los elementos son generados por un ideal, por lo $2\mathbb{Z}$ es el principal ideal de anillo. Y llegamos a la conclusión de que $2\mathbb{Z}$ es un noetherian anillo. ¿Por qué no puede el uso de Hilbert teorema de la base para $R[x]$?

Answer 1

Hilbert teorema de la base sólo se aplica a unital anillos (esto es a menudo no se indica explícitamente desde unital es a menudo incluido en la definición de "anillo"). Desde $2\mathbb{Z}$ no es unital, la de Hilbert teorema de la base no se aplica en este caso.

Un ejemplo de no-finitely generado ideal en $2\mathbb{Z}[x]$ es la totalidad del anillo de $2\mathbb{Z}[x]$ sí. (Tenga en cuenta que para que esto sea cierto, $2\mathbb{Z}[x]$ debe ser definido como el conjunto de polinomios cuyos coeficientes están en $2\mathbb{Z}[x]$, en lugar del anillo obtenidos a partir de $2\mathbb{Z}$ libre junto a un elemento central de la $x$. Esta distinción no hacer una diferencia para unital anillos.)