¿Qué es un "cambio" en un espacio de Hilbert separable?

Question

Pensé que sabía lo que un (a la izquierda) "shift". Si $(e_n)$ es el estándar de la unidad de vectores base en $\ell_2$, $T:\ell_2\to \ell_2$ definido por

$$Te_1=0\\ Te_j=w_j e_{j-1}, \forall j>1$$

es un promedio ponderado de desplazamiento a la izquierda en $\ell_2$.

Lo que sugirió que la definición de que un operador $T$ sobre un espacio de Hilbert separable $H$ es un desplazamiento a la izquierda si no existe una ortonormales secuencia $(e_n)$ de manera tal que en ese ortonormales secuencia $T$ se ve como antes.

Ahora considere el $\bigoplus \ell_2 :=\{((x_1, x_2, \dots) : \sum\|x_i\|^2<\infty \}$, la suma directa de los contables de copias de $\ell_2$, y el operador $S$ se define como: $$S(x_1, x_2, x_2, x_3\dots)=(x_2, x_3, \dots)$$

Esto se ve como un desplazamiento a la izquierda, pero lo hace de satisfacer mi ad-hoc de la definición anterior? Es mi definición de un "cambio" defectuoso, y si es así ¿qué es un "cambio" en un resumen separable espacio de Hilbert?

Edit: En vista de los comentarios de abajo, el segundo "shift" no satisface a mi, obviamente definición incorrecta. Claramente, es natural considerar a $S$ por encima como un cambio. Considere ahora $X$ un isomorfismo entre el$\ell_2$$\bigoplus \ell_2$. A continuación, $X^{-1}SX$ es un cambio en $\ell_2$ que no se parece en nada a la $T$ por encima. ¿Cómo puedo reconocer a las personas directamente a un operador como un cambio, sin darse cuenta (¿cómo?) que tiene un "cambio" como el formulario en otra representación de un espacio de Hilbert separable?

Answer 1

Que me sugieren para usted las siguientes definiciones :

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable. Un operador acotado $A$ $H$ es un desplazamiento derecha si y sólo si para algunos ortogonal base $\left( e_{n}\right) _{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }$ for $H$ we have $\left( e_{n}\right) \en el span\left\{ e_{n+1}\right\}$ por cada $n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion$.

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable. Un operador acotado $A$ $H$ es un desplazamiento a la izquierda si y sólo si para algunos ortogonal base $\left( e_{n}\right) _{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }$ for $H$ we have $\left( e_{0}\right) =0$ and $\left( e_{n+1}\right) \en span\left\{ e_{n}\right\}$ for every $n\en %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion$.

Pero si su espacio de Hilbert no es necesariamente separables puede utilizar como alternativa, los dos siguientes definiciones :

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Un operador acotado $A$ $H$ es un generalizada mayús derecha si y sólo si existe una secuencia de cerrado no trivial ortogonal subespacios $\left( H_{n}\right) _{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }$ such that $\underset{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }{\bigoplus }H_{n}=H$ and $\left( H_{n}\right) \subconjunto H_{n+1}$ for every $% n\en %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion$.

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Un operador acotado $A$ $H$ es un generalizada desplazamiento a la izquierda si y sólo si existe una secuencia de cerrado no trivial ortogonal subespacios $\left( H_{n}\right) _{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }$ such that $\underset{n\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }{\bigoplus }H_{n}=H$, $\left( H_{n+1}\right) =\left\{ 0\right\}$ and $% Un\left( H_{n+1}\right) \subconjunto H_{n}$ for every $n\en %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion$.

Entonces, podemos decir que, según todas las definiciones anteriores, el primer ejemplo es para un desplazamiento a la izquierda y el segundo es para una generalizada de desplazamiento a la izquierda, pero no un desplazamiento a la izquierda.