Evaluar $\iint_D2x-2y \ dxdy$ usando coordenadas polares.

Question

Evaluar $$\int_{\gamma}y^2dx+x^2dy,$$

donde $\gamma:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, la ejecución de una revolución en sentido antihorario.

Tengo que $(P,Q)=(y^2,x^2)$ y $\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial P}{\partial y}=2y.$ Por los Verdes teorema tengo

$$\int_{\gamma}Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \ dxdy=\iint_D(2x-2y) \ dxdy.$$

Coordenadas polares:

$$\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & R\cos{\theta}+a \\ y & = & R\sin{\theta}+b\\ \end{array} \right.\implica E:\left\{ \begin{array}{rcr} 0 \leq R \leq r \\ 0 \leq \theta \leq 2\pi \\ \end{array} \right.$$

Para mi es integral

$$2\iint_Dx-y \ dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^r R(\cos{\theta}-\sin{\theta})+a-b =4\pi r(a-b).$$

La respuesta correcta es $2\pi r^2(a-b),$ me voy por un factor de $\dfrac r2$. No puede encontrar el error.

Answer 1

Tenga en cuenta que pasa en coordenadas polares necesitamos un factor de $Rd\theta dR=dxdy$, luego

$$2\iint_Dx-y \ dxdy=2\int_0^{2\pi}\int_0^r R^2(\cos{\theta}-\sin{\theta})+(a-b)R\,dR\,d\theta =4\pi \frac{r^2}2(a-b)$$

Answer 2

En coordenadas polares, el elemento de área es $RdR d\theta$ en lugar de la cartesiano elemento de $dxdy$.

Tenga en cuenta que $RdR d\theta$ es el Jacobiano de la transformación de $$(x,y)\to (Rcos(\theta), Rcos(\theta))$$ de Cartesianas a Polares.