Cómo es $\,\int(1/x)\,dx = \ln|x|\,$ verdad?

Question

¿Por qué la integral de $\frac 1x dx$ igual al logaritmo natural del valor absoluto de $x$?

$$\int \frac 1x\,dx = \ln|x| + C$$

Answer 1

Cuando usted escribe $$\int\frac1x\,dx$$ you are writing the symbols that represent the most general class of antiderivatives for $\frac1x$ with respect to $x$.

Desde $\frac{1}{x}$ está definida para todo valor distinto de cero $x$, y es continua para todo valor distinto de cero $x$, entonces usted está en busca de una clase de funciones que están definidas para todos los distinto de cero $x$, y todos sus derivados igual a $\frac{1}{x}$.

Las dos dimensiones de la clase de funciones dadas por $\ln|x|+C_1\frac{x}{|x|}+C_2$ satisfacer estas necesidades, como la que se muestra a continuación. También, desde la $\frac{1}{x}$ tiene exactamente una discontinuidad y es en $0$, cualquiera de los dos antiderivatives diferir por $C_1\frac{x}{|x|}+C_2$ para algunos la elección de las constantes de $C_1$$C_2$. Por lo que esta clase de funciones que se le da a todos los antiderivatives para $\frac{1}{x}$.

Ahora, ¿por qué es $\frac{d}{dx}\left(\ln|x|+C_1\frac{x}{|x|}+C_2\right)$ igual a $\frac{1}{x}$? Tenemos que $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\ln|x|+C_1\frac{x}{|x|}+C_2\right) &=\frac{d}{dx}\left(\ln|x|\right)\\ &=\left.\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)\right|_{x\to|x|}\cdot\frac{d}{dx}|x|\\ &=\left.\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)\right|_{x\to|x|}\cdot\frac{x}{|x|}\\ \end{aligned}$$

Por eso necesitamos saber lo $\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)$ es. En este punto, todo depende de cuál es su definición de $\ln$ es. Cualquiera de las definiciones estándar (que todo puede ser demostrado ser equivalentes) todos nos dicen que $\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}$. Podemos hablar de esto más adelante, pero por ahora, seguimos:

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\ln|x|+C_1\frac{x}{|x|}+C_2\right) &=\left.\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)\right|_{x\to|x|}\cdot\frac{x}{|x|}\\ &=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{x}{|x|}\\ &=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{|x|}{x}\\ &=\frac{1}{x} \end{aligned}$$

Y esta la prueba de la reclamación.

Entonces, ¿cómo definir $\ln(x)$?

• Como la inversa de a $e^x$? Luego de establecer que el $\frac{d}{dx}e^x=e^x$, y aplicar la regla de la cadena para la identidad de $e^{\ln(x)}=x$, y el hecho de que $\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}$ va a surgir.

• Como $\int_1^x\frac{1}{t}\,dt$? Luego de establecer el Teorema Fundamental del Cálculo, y el hecho de que $\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}$ es inmediata.

• Otras maneras? Probar que son equivalentes a las definiciones que uno de los de arriba, y vaya forma.

Answer 2

La derivada

$$ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}; $$ sin embargo también $$ \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1} {x}\frac{d(-x)}{dx} = \frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}. $$ Por lo tanto, fiding una primitiva de $1/x$ equivale a sacar ambos casos, en cuenta, que en forma ordenada se escribe como $\ln |x|.$

Answer 3

En algunos casos (como en el análisis complejo) la fórmula es simplemente incorrecto. $$ \int \frac{dz}{z} = \ln(z)+C $$ es analítico, sino $\ln|x|$ no es analítica.

......

Pero en el caso real, se abrevia dos fórmulas: $$ \int\frac{dx}{x} = \ln(x)+C\qquad\text {} x>0, \\ \int\frac{dx}{x} = \ln(-x)+C\qquad\text {} x<0, $$

Answer 4

Cuando $x>0$, $(\ln |x|)'=(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

Cuando $x<0$, $(\ln |x|)'=(\ln (-x))'=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$.

Answer 5

Usted puede pensar en la integración como anti-derivada. La derivada de $ln(x)$ $\frac{1}{x}$ (Marque http://math2.org/math/derivatives/more/ln.htm), por lo tanto el resultado de la siguiente manera.