¿Son por qué los primera pocos poderes de $2^{10}$ un poco más que las de 1000?

Question

Ver la lista completa aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_two#Powers_of_1024.

Me pregunto si hay una explicación matemática de la relación o si es solo coincidencia.

Answer 1

Desde $2^{10}=1024$: $$2^{10n}=(1000+24)^n=1000^n+24\cdot 1000^{n-1}n+...$ $ así como $24n$ sigue siendo mucho más pequeño de $1000$, entonces $2^{10n}$ estará cerca de $1000^n$.

Answer 2

Una buena "explicación" es que $\log_{10} 2 = 0.3010$.

Por lo tanto, $\log_{10} 2^{10} = 10 \log_{10} 2 = 3.01$, por lo tanto, $2^{10}$ está muy cerca de $10^3$.