La integración de un jacobiano para encontrar el volumen.

Question

Quiero resolver lo siguiente:

Demostrar que

$$\displaystyle \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} d\theta d\phi_1\cdots d\phi_{n-2} = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$$

donde $ R=[0,2\pi] \times [0,\pi]^{n-2}$. Sugerencia: Calcular $ \int_{\mathbb R^n}e^{-|x|^2}dx$ en coordenadas esféricas.

Así que estoy teniendo problemas para calcular la segunda integral en coordenadas esféricas, porque no sé cómo integrar (en pasos finitos) $sin^{n}(x)$ y no sé cómo esto se traduce a una división de las integrales.Me pueden ayudar a solucionar esto por favor?, Muchas gracias de antemano :)

Answer 1

Usted no quiere hacer la integral directamente: de ahí la sugerencia. Una forma de integrar es dividir $$ e^{-|x|^2} = e^{-(x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2)} = e^{-x_1^2} e^{-x_2^2} \dotsm e^{-x_n^2} , $$ que es un producto de $n$ unidimensional integrales, todos los que sabemos valorar a $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}. $$ Por otro lado, si usted sustituye en coordenadas esféricas, ha $e^{-|x|^2}=e^{-r^2}$, y el elemento de volumen es $$ r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} \, dr \, d\theta \, d\phi_1\cdots d\phi_{n-2}, $$ lo que significa que la integral se divide este tiempo como: $$ \left( \int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr \right) \left( \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} \, d\theta \, d\phi_1\cdots d\phi_{n-2} \right). $$ La segunda integral es la que usted desea, y usted puede hacer el uso de la función Gamma, que te dará la respuesta que usted desea cuando usted lo divide: es decir, usted tiene dos evaluaciones diferentes de la misma cantidad, por lo que deben ser iguales, $$ \pi^{n/2} = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x|^2} \, dx = \left( \int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr \right) \left( \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} \, d\theta \, d\phi_1\cdots d\phi_{n-2} \right), $$ así $$ \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} \, d\theta \, d\phi_1\cdots d\phi_{n-2} = \frac{\pi^{n/2}}{\int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr}. $$

Answer 2

Sugerencia de todas las variables $\phi_i$ pueden ser separados en la integral, así que usted puede transformar la integral en: $$\displaystyle \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} d\theta d\phi_1\cdots d\phi_{n-2}=\int_{0}^{2\pi}d\theta \prod_{i=1}^{n-2}\int_{0}^{\pi}\sin^i\phi_i d\phi_i$$