Demostrar que $\frac{1}{2h}\int_a^b\mu(A\cap(x-h,x+h))\,\text{d}x\le \mu(A)$

Question

Me estoy preparando para el segundo mini-test en teoría de la medida. Aquí está uno de los problemas que yo no puedo lidiar con. Agradecería cualquier ayuda, gracias.

Deje $\mu$ ser una medida de Radón en $\mathbb{R}$, supongamos que $A$ $\mu$medible subconjunto de $[a,b]$ y deje $h$ ser un número positivo. Demostrar que $$\frac{1}{2h}\int_a^b\mu(A\cap(x-h,x+h))\,\text{d}x\le \mu(A).$$

Answer 1

Si se aplica Fubini (o Tonelli) en la segunda igualdad de abajo (todo lo que es positivo), se obtiene $$ \frac1{2h}\,\int_{[a,b]}\mu(A\cap(x-h,x+h))\,dx=\frac1{2h}\,\int_{[a,b]}\int_{(x-h,x+h)}\,1_A(t)\,d\mu(t)\,dx\\ \leq\frac1{2h}\int_{(a-h,b+h)}\int_{[t-h,t+h]}\,1_A(t)\,dx\,d\mu(t)=\int_{(a-h,b+h)}\,1_A(t)\,d\mu(t)=\mu(A\cap(a-h,b+h))=\mu(A). $$