Es posible encontrar enlazados a los estados si el potencial es siempre positivo, pero de fuga en el infinito?

Question

Estoy estudiando enlazados a los estados para los diferentes tipos de potencial, y se confundió por una circunstancia particular: supongamos que tenemos un potencial $V({\bf r})$ que va a cero cuando la posición $r$$\infty$, pero es positivo para cualquier valor finito de la posición:

$$ \qquad V({\bf r}) \ge 0 \quad \text{ but } \quad V({\bf r}) \to 0 \,\text{ for }\, r\to\infty. $$

Es posible encontrar un estado limitado dentro de potencial de la región?

Answer 1

Supongamos que el Hamiltoniano con el potencial dado por $V(x)$ para el sistema unidimensional está bien definido y $V(x)\geq 0$ cae en $\pm\infty$. Supongamos $0\neq \psi\in L^2(\mathbb{R})$ es un estado asociado, es decir, hay una energía $E$ tal que $$\psi''=2m(V-E)\psi.$$

Para $\psi$ a ser normalizable, sin duda tenemos $E>0$. Luego busca en el límite hacia la $\infty$, podemos afirmar que la $$\psi''(x)\approx -2mE\psi(x)\qquad (x\to\infty).$$ Esto es resuelto por el seno y el coseno de ondas y creo que es enaugh argumentar que $\psi$ no puede ser normalizado. Esto llevaría a la conclusión de que el sistema no tiene enlazados a los estados. Espero que alguien sabe cómo hacer que este argumento precisa en términos de las matemáticas y generalizar a $3$ espacial de las dimensiones.