Ejercicio sobre grupos fundamentales

Question

Tengo que calcular el grupo fundamental de $\mathbb{R}^{3} \smallsetminus A$ donde $A=\{(x,y,z): y=0,x^{2}+z^{2}=1\} \cup \{(x,y,z): y=z=0, x \ge 1\}$ . Para ello, considero $B=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2} > 1\}$ : si $B$ y $A \cap B$ son simplemente conectadas, entonces el isomorfismo $\beta_{*}: \pi(A \cap B,x_0) \mapsto \pi(B,x_0)$ induce un isomorfismo $\pi(A,x_0) \mapsto \pi(A \cup B,x_0)$ . Así que puedo completar observando que $A \cup B$ es el complemento de una circunferencia en el espacio $R^{3}$ entonces $\pi(A)=\pi(A \cup B) \equiv \mathbb{Z}$ .

¿Puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Tienes razón sobre $\pi(A\cup B)=\mathbb Z $ pero eso es realmente innecesario para encontrar el grupo fundamental de $\Bbb R - (A\cup B)$ .

Ya que has encontrado $(A\cup B)\sim S^1$ , se puede ver que $\Bbb R^3-(A\cup B)\sim \Bbb R^3 - S^1$ . Si puedes ver que es homotópico a $\tau^1\cup D^2$ donde $D^2$ se identifica con el bucle horizontal más pequeño de $\tau^1$ . Entonces, si se aplica el Teorema de Van Kampen con $U= \tau^1, V=D^2$ y $U\cap V=S^1$ , obtenemos que $\pi(\Bbb R^3-(A\cup B))=\frac{\Bbb Z x\Bbb Z}{i*(\alpha)\sim j*(\alpha)}$ . Conseguimos que $i*(\alpha)=a$ y $j*(\alpha)=\{0\}$ por lo que encontramos que $\pi(\Bbb R^3-(A\cup B))=\Bbb Z$ .