¿Poseer los mismos valores propios y los mismos espacios propios implica la igualdad de las matrices? Si la respuesta es afirmativa, ¿también es cierta la inversa de esta implicación? Es decir, si la respuesta es afirmativa, ¿tener los mismos valores propios y los mismos espacios propios es sólo una condición suficiente para la igualdad de las matrices cuadradas o es la condición necesaria y suficiente?
Las matrices
$$\left[ \begin{array}{cccc} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cccc} \lambda & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array} \right]$$
tienen los mismos valores propios y espacios propios, pero son diferentes. Pueden distinguirse por sus espacios propios generalizados.
Esto no es cierto si se interpreta que "los mismos eigenspaces" significan literalmente los mismos subespacios del espacio vectorial subyacente.
@Qiaochu Yuan: Lo siento, pero las matrices similares son matrices del mismo mapa lineal en diferentes bases. Dirás que un vector propio/espacio propio de un mapa lineal depende de la base?
Las matrices similares tienen espacios de eigenes que están relacionados por un cambio de coordenadas; si se piensa en los espacios de eigenes como subespacios de $\mathbb{C}^n$ no son literalmente idénticos, un cambio de coordenadas cambia los subespacios literales de $\mathbb{C}^n$ involucrado.
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¿Supone que sus matrices son diagonalizables? Si no es así, considere las matrices que no tienen valores propios.
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No, no estoy asumiendo matrices diagonalizables. Pero permíteme decir que estoy asumiendo matrices cuadradas sobre el campo de los números complejos. Por lo tanto, no hay posibilidad de matrices sin valores propios.
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Esto no es cierto a menos que las matrices sean diagonalizables. Fíjate bien en las matrices en forma normal de Jordan.
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¿Quiere decir igual o equivalente? Eso hace la diferencia..
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Quise decir igual. Que las entradas correspondientes sean iguales.
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@Qiaochu Yaun Pues no sigo muy bien el papel de las formas normales de Jordan respecto a mi pregunta. La preocupación de mi pregunta son los valores propios ordinarios y los espacios propios y no los generalizados. ¿Puedes dar un ejemplo de dos matrices cuadradas no diagonalizables sobre el campo complejo que posean los mismos valores propios y espacios propios pero que no sean matrices iguales?
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También me preguntaba el otro día si mi pregunta con la frase "mismos eigenspaces" es legítima. Al fin y al cabo, los eigenspaces son espacios vectoriales en sí mismos. Hablar de "mismos eigenspaces" es realmente hablar de que dos espacios vectoriales son iguales. Pero hasta donde yo sé, "ser igual" para los espacios vectoriales es "ser isomorfo". Así que tengo dudas sobre si mi pregunta es adecuada. El cambio de la frase "Mismos eigenspaces" por "eigenspaces isomórficos" me hizo recordar que todas las dos matrices similares, y ni siquiera necesariamente diagonalizables, satisfacen el criterio.
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"Mismos eigenspaces" tiene sentido como afirmación sobre subespacios de un espacio vectorial fijo; tiene sentido preguntar si dos subespacios de un espacio vectorial son literalmente iguales.