Cómo encontrar el límite de uso de L'Hôspital la Regla

Question

Encontrar el límite. El uso de L'Hôspital la Regla si es apropiado. Si hay un más elementales método, considere el uso de la misma.

Encontrar el límite cuando x tiende a infinito de $(\frac{5x-3}{5x+4})^{5x+1}$

Mi primer pensamiento sería tomar el logaritmo natural y volver a escribir como el exponente veces la fracción reescrito como la adición de dos funciones de registro natural, pero no sé cómo que me ayudaría. Alguien puede ayudar?

Answer 1

$$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{5x-3}{5x+4}\right)^{5x+1}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1-\frac{7}{5x+4}\right)^{5x+1}$$ $$=\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1-\frac{7}{5x+4}\right)^{-3}\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1-\frac{7}{5x+4}\right)^{5x+4}$$ $$=\left(1\right)\lim_{x\rightarrow \infty }\left(1-\frac{7}{5x+4}\right)^{5x+4}=\frac{1}{e^7}$$

Answer 2

Aunque no es tan bonita como sólo usando la definición de límite de $e$, se puede calcular a través de la regla de L'Hôpital por primera reescribir el límite de la siguiente manera:

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{5x-3}{5x+4}\right)^{5x+1} = \lim_{x\rightarrow \infty}\operatorname{exp}\left[(5x+1)\operatorname{ln}\left(\frac{5x-3}{5x+4}\right)\right] = \lim_{x\rightarrow \infty}\operatorname{exp}\left[\frac{\operatorname{ln}\left(\frac{5x-3}{5x+4}\right)}{\frac{1}{5x+1}}\right]\\ = \operatorname{exp}\left[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\operatorname{ln}\left(\frac{5x-3}{5x+4}\right)}{\frac{1}{5x+1}}\right].$$