Vamos a generalizar un poco: ha $n=8$ datos ordenados, $x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n$, lo que usted desee dividir aleatoriamente en grupos de tamaño $\alpha=4$$\beta=4$. Indicar la división por el indicador de $\beta$: este es, en efecto, una $n$dígitos del número binario que tiene exactamente $\beta$. (Ejemplos que aparecen a continuación.) En orden para $x_i$ $k=3$rd menor en el segundo grupo, necesitamos tres cosas sucedan. Los coeficientes binomiales contar el número de maneras en que pueden suceder:
Dígito $i$ del indicador es $1$. Esto sucede en $1 = \binom{1}{1}$ maneras.
Hay exactamente $k-1$ $1$'s entre dígitos $1$ a través de $i-1$. Esto sucede en $\color{red}{\binom{i-1}{k-1}}$ maneras.
Hay exactamente $\beta-k$ $1$'s entre dígitos $i+1$ a través de $n$. Esto sucede en $\color{blue}{\binom{n-i}{\beta-k}}$ maneras.
Estos tres eventos son independientes porque describen la no superposición de posiciones en el indicador, de modo que su producto es el número de maneras de realizar la división.
El número total de formas en que los datos pueden ser divididos está dada por el coeficiente binomial $\binom{n}{\beta}$, cada uno de los cuales es igualmente probable, de ahí la posibilidad de que $x_i$ $k$th menor en el segundo grupo es el de
$$\frac{\color{red}{\binom{i-1}{k-1}} \color{blue}{\binom{n-i}{\beta-k}}}{\binom{n}{\beta}}.$$
(Here and later, red objects denote or count numbers ranked ahead of $x_i$ and blue objects denote or count numbers ranked after $x_i$.)
For example, let $n=8$, $\alpha=4$, $\beta=n-\alpha=4$, and $k=3$ (which is the specific instance in the question). Let's tabulate $i$, the corresponding binomial coefficients, and their product:
i Choose(i-1,2) Choose(8-i,4-3) Product
1 0 7 0
2 0 6 0
3 1 5 5
4 3 4 12
5 6 3 18
6 10 2 20
7 15 1 15
8 21 0 0
The total, $0+0+5+12+\cdots+15+0$, is $70$, which is precisely $\binom{8}{4}$, confirming the law of total probability. The interpretations are:
There is no chance that either $x_1$ or $x_2$ podría ser la tercera elementos más pequeños en el segundo grupo.
Hay $1\times 5=5$ formas de salir de la $70$ que $x_3$ podría ser el tercer menor en el segundo grupo, donde la respuesta a la pregunta acerca de la $T_i$$5/70 = 1/14 \approx 7.1$%. En términos de los binarios de los indicadores, estos cinco maneras en que puede ser escrito
$$\color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{10000},\quad \color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{01000},\quad \color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{00100},\quad \color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{00010},\quad \color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{00001}.$$
For instance, the fifth indicator $\color{red}{11}\ 1\ \color{blue}{00001}$ identifies $\{\color{red}{x_1}, \color{red}{x_2}, x_3, \color{blue}{x_8}\}$ as the second group.
- There are $3\veces 4=12$ ways out of $70$ that $x_4$ podría ser el tercer menor en el segundo grupo:
$$\color{red}{110}\ 1\ \color{blue}{1000},\quad \color{red}{110}\ 1\ \color{blue}{0100},\quad \color{red}{110}\ 1\ \color{blue}{0010},\quad \color{red}{110}\ 1\ \color{blue}{0001} \\
\color{red}{101}\ 1\ \color{blue}{1000},\quad \color{red}{101}\ 1\ \color{blue}{0100},\quad \color{red}{101}\ 1\ \color{blue}{0010},\quad \color{red}{101}\ 1\ \color{blue}{0001} \\
\color{red}{011}\ 1\ \color{blue}{1000},\quad \color{red}{011}\ 1\ \color{blue}{0100},\quad \color{red}{011}\ 1\ \color{blue}{0010},\quad \color{red}{011}\ 1\ \color{blue}{0001}.$$
