$G$ es abelian cuando cualquiera de los dos no-identidad $a$ , $b$ hay un automorphism $\delta$ tal que $\delta(a)=b.$

Question

$G$ es un grupo finito con identidad $\mathcal e.$ Supongamos que para cualquiera de los dos no de elementos de identidad $a$ , $b$ de $G$ , hay un automorphism $\delta$ tal que $\delta(a)=b.$ demostrar que $G$ es abelian .

Así que lo que yo estaba pensando que hacer es que el $$a\cdot b=b\cdot a$$ Por la condición dada hay un $\delta$ tal que $$\delta(a\cdot b)=b\cdot a\\or,\ \ \ \delta(a)\cdot \delta(b)=b\cdot a.$$

Ahora no sé qué hacer a continuación .

También otra cosa que observé fue que, para cualquier no-identidad elemento $a$, hay un automorphism $\phi$ tal que $$a=\phi(a^2)\\={(\phi(a))}^2$$ and thus every non-identity element of $G$ is a square. Then we have $$a=a_1^2=a_2^4=a_3^8=.............=a_n^{2^n}=..$$ But for finiteness of $G$ esto tiene que parar en algún lugar. Supuse que podría ser útil en algunos aspectos, pero no podía averiguar a qué conclusiones pueden extraerse de que cualquiera de los dos .

Answer 1

En primer lugar, se observa que todos los elementos tienen el mismo orden y este orden debe ser un número primo $p$ (esto se deduce a partir del Teorema de Cauchy y el hecho de que $Aut(G)$ actúa transitivamente sobre $G - \{1\}$).

Por lo $G$ $p$- grupo, y por lo tanto tiene un no-trivial centro. Pick $z \in Z(G)$, $z \neq 1$. Deje $a,b \in G$. Entonces existe un $\delta \in Aut(G)$$\delta(a)=z$. Pero, a continuación,$\delta(ab)=z\delta(b)=\delta(b)z=\delta(ba)$. Desde $\delta$ es inyectiva se sigue que $ab=ba$, de donde $G$ es abelian. Aún se sigue que $G \cong C_p \times \cdots \times C_p$ para algunos prime $p$.