Demostrar que $n(r) < 2\pi \sqrt[3]{r^{2}}$

Question

Supongamos que $n(r)$ indica el número de puntos con coordenadas enteras en un círculo de radio $r > 1$. Demostrar que

$$ n(r) < 2\pi \sqrt[3]{r^{2}} $$

¿Qué proceso debe usar para resolver el último?

Answer 1

Tenemos:

$$ n(r) = 4\left(\chi_4* 1\right)(r^2) = 4\sum_{d\mid r^2}\chi_4(d)\leq 4 \,d(r^2) $$ donde $\chi_4(d)$ es igual a $1$ si $d\equiv 1\pmod{4}$, $-1$ si $d\equiv -1\pmod{4}$ y cero en caso contrario.

El reclamo de ahí sigue por el divisor enlazado (gracias a Terence Tao) por $\varepsilon=\frac{1}{3}$.

Answer 2

Etiqueta de la $n(r)$ $P_1, P_2, \ldots, P_n$ a la izquierda. Una estrategia general con problemas en relación con entramado de puntos es de alguna manera el uso de la zona (usando el cordón de la fórmula con coordenadas enteras da buena límites). En este caso, buscando en cualquier triángulo, el área será de, al menos, $1/2.$ Ahora podemos, en particular, elegir un triángulo con los "pequeños" de la zona. Restringir nuestra atención a los triángulos $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ y darse cuenta de que esta zona de manera eficaz depende del ángulo de $P_i P_{i+1} P_{i+2},$ y por lo tanto el arc $P_i P_{i+2},$ re-etiquetar de manera que $P_1OP_3$ ha ángulo en la mayoría de las $\frac{4\pi}{n}.$

Ahora $P_1 P_2 P_3$ área en la mayoría de las $\frac{1}{2} P_1P_2\cdot P_2P_3\sin \frac{2\pi}{n} \le \frac{\pi}{n} P_1P_2 \cdot P_2P_3.$ Pero $P_1 P_2 = 2r\sin \alpha,$ donde $\alpha$ es la mitad de la medida del arco $P_1 P_2$ (dividir por $r$) $P_2 P_3 = 2r \sin \beta,$ $\beta$ se define de manera similar. Observe que $\alpha + \beta$ es en la mayoría de las $\frac{2\pi}{n}$ e lo $\sin \alpha \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cos(\alpha-\beta) - \frac{1}{2}\cos(\alpha + \beta)\le \frac{1}{2} - \cos\frac{2\pi}{n},$ con la igualdad cuando la $\alpha = \beta = \frac{\pi}{n}.$

En consecuencia, $\frac{1}{2}\le [\triangle P_1 P_2 P_3] \le \frac{4\pi r^2}{n}\sin \alpha \sin\beta \le \frac{4\pi^3 r^2}{n^3},$ donde $n \le 2\pi \sqrt[3]{r^2}.$

Desigualdad estricta no es difícil, si usted realmente lo desea. Pregunta para usted: ¿dónde estaba la suposición $r>1$ utiliza?