Gráfica de la función $x^y = y^x$ y $e$ (número de Euler).

Question

Anteriormente, estaba usando el Calculadora gráfica Desmos y quería recordar lo que la gráfica de la función $x^y = y^x$ parecía.

Si nunca ha visto su aspecto, es similar a la forma de la letra griega, psi (); compuesta por dos gráficos:

• $y = x$
• No estoy seguro de a qué equivale la ecuación de esta gráfica, pero diría que tiene una forma similar a la gráfica de $y = \frac{1}{x}$ pero mucho más empinada.

Sin embargo, lo que sí sé es que estas dos gráficas se interceptan en el punto $(e, e)$ , donde $e$ es el número de Euler.

Por favor, si puedes, compruébalo por ti mismo, pero mi pregunta es, ¿por qué el número de Euler está relacionado con este gráfico?

Editar: Creo, tras una inspección más profunda, que está relacionado con el número de Euler debido a que $x^y = e^{x \ln y}$ y, por lo tanto, $y^x = e^{y \ln x}$ .

Debido a este hecho, podemos tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación $e^{x \ln y} = e^{y \ln x}$ para conseguirlo. $x \ln y = y \ln x$ .

No sé cómo continuar con esta explicación, pero mi nueva pregunta es, ¿cuál es la ecuación de la gráfica que no he podido resolver?

Gracias, y buena suerte.

Answer 1

Para un determinado $y>0$ la ecuación $x\ln(y) = y\ln(x)$ equivale a $\ln(x)/x=\ln(y)/y$ .

Esta es la gráfica de la función $f(x)=\displaystyle\frac{\ln(x)}{x}$ .

La función tiene un máximo global en $x=e$ .

Si $y\leq 1$ entonces $f(y)\leq0$ y la ecuación sólo tiene una solución: $x=y$ .

Si $y>1$ entonces $f(y)>0$ y $y\neq e$ y la ecuación tiene dos soluciones (se puede ver que una línea horizontal cortará la gráfica de la función en dos puntos, a menos que $y=e$ en cuyo caso las "dos" soluciones se vuelven iguales).

Si $y=e$ entonces $x=e$ (Este es el punto en el que se cruzan sus dos gráficos).

No creo que haya una forma cerrada para tu segunda gráfica (es decir, usando sólo funciones elementales.) Pero puedes usar el Función Lambert W para conseguir algo lo suficientemente cercano.

Las funciones W de Lambert $(W_k)_{k \in \mathbb Z}$ son las soluciones de la ecuación: $$\forall k \in \mathbb Z:\forall x\in \mathbb R: W_k(x)e^{W_k(x)}=x$$ Si queremos soluciones de valor real (que es lo que hacemos, aquí), entonces sólo necesitamos $W_0$ y $W_{-1}$ .

Lo tenemos:

$$\frac{1}{x}\ln(x)=\frac{1}{y}\ln(y)$$ $$\frac{1}{x}\ln(\frac{1}{x})=\frac{1}{y}\ln(\frac{1}{y})$$ $$\ln(\frac{1}{x})e^{\ln(\frac{1}{x})}=\ln(\frac{1}{y})e^{\ln(\frac{1}{y})}$$ Por lo tanto:

$$\ln(\frac{1}{y})=W_0(\frac{1}{x}\ln(\frac{1}{x}))\text{ or } \ln(\frac{1}{y})=W_{-1}(\frac{1}{x}\ln(\frac{1}{x}))$$

$$y=e^{-W_0(\frac{1}{x}\ln(\frac{1}{x}))}\text{ or } y=e^{-W_{-1}(\frac{1}{x}\ln(\frac{1}{x}))}$$

Lo simplificamos un poco para obtener el resultado final:

$$y=-\frac{xW_{0}(\frac{-\ln(x)}{x})}{\ln(x)}\text{ or } y=-\frac{xW_{-1}(\frac{-\ln(x)}{x})}{\ln(x)}$$

Esto nos da dos gráficos.

Una superposición de las dos gráficas nos da la que has visto inicialmente.

Answer 2

Cualquier ecuación que se pueda escribir $$A+Bx+C\log(D+Ex)=0$$ tiene soluciones expresadas en términos de la función de Lambert.

En el caso de $x^y=y^x$ , esto escribe $$y = -\frac{x}{\log x}\,W\left(-\frac{\log x}{x}\right)$$ y lo que Lambert y Euler demostraron es que, en el dominio real, la función $W(z)$ existe si $z\geq -\frac 1e$ . Por lo tanto, para el argumento $-\frac{\log x}{x}\geq -\frac 1e$ Esto implica $x \geq e$ . Esto corresponde a la segunda rama de la curva (después de $y=x$ ). En $x=e$ la pendiente de la curva es $-1$ .

Answer 3

Para la mayoría de los puntos de $y=x$ , usted tiene $dy/dx=1$ . Hay un punto en el que $dy/dx$ podría ser $1$ o $-1$ . Llama a ese punto $(x,y)=(a,a)$ . $$x\ln y=y\ln x\\ \ln y+\frac xy\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\ln x+\frac yx\\ \ln a+\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\ln a+1$$ Esto tiene una solución única a menos que $\ln a=1$

Answer 4

Aquí es un artículo relevante. Encuentran una ecuación paramétrica para la no $“x=y”$ rama del gráfico ( Enlace a Desmos ), y luego demostrar que las ramas se cruzan en $(e,e)$ . El resto de esta respuesta es mi propia aportación.

El hecho de que las dos ramas del gráfico de $x^y=y^x$ se cruzan en $(e,e)$ está relacionado con el hecho de que los gráficos de $y=x^e$ y $y=e^x$ son tangentes. (Veremos, tenemos dos soluciones para cosas como $x^3=3^x$ por lo que hay dos puntos con $y=3$ en ese gráfico. Sin embargo, sólo hay una solución para $x^e=e^x$ (ya que son tangentes).

Teorema: $x^e$ y $e^x$ son tangentes.

Prueba: Recuerda que $$e^t\ge t+1\quad\text{for all }t$$ Es una de mis fórmulas favoritas. Nos permite probar muchas cosas sobre $e$ sin cálculo.

Sustituyendo en $t=\dfrac xe-1$ nos da: $$e^{x/e-1}\ge\dfrac xe$$ Multiplicando por $e$ : $$e^{x/e}\ge x$$ Elevación al poder de $e$ : $$e^x\ge x^e$$ Dado que se cruzan claramente en $x=e$ deben ser tangentes. $\tag*{$ \N - Plaza negra $}$

P.D. Esta última ecuación resuelve el rompecabezas de cuál es más grande, $e^\pi$ o $\pi^e$ .

P.P.S. Crédito extra: Utilizando el hecho de que $e^t\ge t+1$ y, sin necesidad de cálculo, demuestre que $1-\frac12+\frac13-\dotsb=\ln2$ . Advertencia: Esto es difícil. (Digo que "no hay cálculo", pero en cierto modo necesitas el Teorema del Apretón al final).

Answer 5

Esta es una derivación de la respuesta de Claude.

La definición del Lambert- $W$ es la solución a:

$$x = y e^y$$

Nuestra ecuación es:

$$x \ln y = y \ln x$$

$$ \implies - \frac {\ln x}{x} = -\frac {\ln y}y = - \ln y e^{- \ln y}$$

$$\implies W\left({-\frac {\ln x}{x}}\right) = - \ln y = - y \frac{\ln x}{x}$$

$$\implies y = - \frac{x}{\ln x}W\left({-\frac {\ln x}{x}}\right) $$