Neumann problema ha únicas dos veces continuamente diferenciable solución

Question

Quiero mostrar que para cada una de las $f\in\mathcal{C}([0,\pi])$, no existe un único dos veces continuamente diferenciable solución para el problema de Neumann en un intervalo $$ -\frac{d^2u}{dx^2}+u=f$$ en $(0,\pi)$ con condiciones de contorno de la $\frac{du}{dx}(0)=\frac{du}{dx}(\pi)=0$. También quiero mostrar que el mapa que envía a $f\mapsto u$ se extiende a una compacta auto-adjunto del operador en $L^2(0,\pi)$.

Se sugirió que yo uso el hecho de que $c_k\cos(kx)$ es una base ortonormales de $L^2(0,\pi)$ para la normalización de los coeficientes de $c_k$ pero no estoy seguro de cómo proceder. Idealmente, me gustaría utilizar el espacio de Hilbert de la teoría para resolver esto.

Gracias!

Answer 1

Así que aquí está el enfoque en general. Los cálculos se omite, en su mayoría debido a mi pereza, pero esto también le permite completar por su cuenta.

La base que tenemos es más que ortonormales - está formada por vectores propios de un operador (a la que llamamos $L$). Llame a esta base $\varphi_1,\varphi_2,\ldots$. Cualquier función de $u$ en su espacio puede ser escrito como$$u=\sum u_i\varphi_i,$$ and since every $\varphi_i$ is an eigenfunction with eigenvalue $\lambda_i$, you obtain$$L(u)=\sum\lambda_iu_i\varphi_i.$$All you have left to do is solve the (very easy) system$$\lambda_iu_i=f_i,\quad i=1,2,\ldots,$$where the $f_i$'s are given by $f=\sum f_i\varphi_i$.