¿Cuál es el cálculo de la teoría de la fórmula para calcular el homotopy clase/grado de un mapa de $T^2\to S^2$?

Question

Sé por Hopf clasificación teorema que $[T^2;S^2]$(toro a la esfera) se clasifican por la integral cohomology grupo $H^2(T^2;\mathbb{Z})\approx\mathbb{Z}$. También entiendo que, en general, dada cualquier mapa continuo $\phi:T^2\to S^2$, lo primero que se puede obtener un celular aproximación $\tilde{\phi}$$\phi$, entonces el problema se reduce a un simple celular descomposiciones y cálculos de los grados de los mapas en las células.

El problema es que el procedimiento anterior parece muy duro para ser programado en un ordenador. Me pregunto, si lo único que importa suave mapas, hay un cálculo teórico de la fórmula de hacerlo? Vamos, decir que el uso de las siguientes notaciones, $$\phi:(z_1, z_2)\mapsto(u(z_1,z_2),v(z_1,z_2),w(z_1,z_2)),$$ donde$(z_1, z_2)=(\exp(ix_1), \exp(ix_2)), x_1,x_2\in[0,2\pi)$$u^2+v^2+w^2=1$; o cualquier otra anotación que resulta más conveniente.

Answer 1

Estás buscando el cálculo, por lo que es muy simple. Quieres tomar un $2$-formulario que genera $H^2(S^2)$, tire de él por su asignación, y integrar sobre el toro. Así que si usted tiene la asignación en coordenadas esféricas, más convenientemente, dicen $$f(e^{2\pi i s},e^{2\pi i t}) = (\phi(s,t),\theta(s,t)),$$ a continuación, habría que tire $\frac1{4\pi}\sin\phi d\phi d\theta$, que es el área de $2$-forma, integrar $ds\,dt$$[0,1]\times [0,1]$, y que sería su grado.

(Si su asignación es, como se indicó, dada en coordenadas cartesianas, a continuación, sólo tiene que tirar de la espalda $\frac1{4\pi}(x dy\wedge dz + y dz\wedge dx + z dx\wedge dy)$ e integrar.)

Si necesitas más aclaraciones, hágamelo saber.

Answer 2

Esto está estrechamente relacionado con el de Gauss, la vinculación de número, uno de los primeros ejemplos de un invariante topológico dado por una integral. Usted encontrará una amplia discusión histórica en "Órbitas de Asteroides, una Trenza, y el Primer Enlace Invariante", por Moritz Epple, Mathematical Intelligencer v. 20 no. 1 (1998) pág.45-52, y en "Gauss" Vincular Número Revisited", por Renzo Ricca y Bernardo Nipoti, Diario de Nudo de la Teoría y Sus Ramificaciones, v. 20 no.10 (2011) pág.1325-1343, incluyendo Gauss original de la fórmula integral para lo que usted busca.

El artículo de la Wikipedia sobre la Vinculación de Número da la fórmula de Gauss en poco más de forma moderna: la Vinculación de Número: Gauss integral de definición.

Para relacionar esto a su pregunta, usted tiene dos parámetros de $z_1$ $z_2$ cada uno de los que van más de un círculo unitario. Deje $\gamma_1(z_1)$ $\gamma_2(z_2)$ ser incrustaciones de estos círculos en $\mathbb{R}^3$. Suponga que las incrustaciones son disjuntas. Así que tenemos un par de bucles. A continuación, $\phi(z_1,z_2)=\gamma_1(z_1)-\gamma_2(z_2)$ es una asignación del toro en $\mathbb{R}^3\smallsetminus\{0\}$, lo que inmediatamente nos da una asignación en $\mathbb{S}^2$, y su índice es el de Gauss vinculación número de los dos bucles.

Su caso es un poco más general, ya que su $\phi$ es cualquier liso mapa de$\mathbb{T}^2$$\mathbb{S}^2$. La fórmula dada en el otro publicado responder muestra cómo la fórmula de Gauss generaliza a este caso.

Aquí hay un enlace a uno de los artículos históricos: de Gauss Vinculación Número Revisited