Me pide el siguiente problema:
Encontrar $f$ si $$f'(x)=\frac{x^2-1}{x}$$
No estoy seguro acerca de mi solución, lo que voy a describir a continuación:
Mi solución:
La primera cosa que he hecho es separar los términos de $f'(x)$
\begin{align*} f'(x)&=\frac{x^2-1}{x}\\ &=x-\frac{1}{x}\\ \therefore \quad f(x)&=\frac{x^2}{2}-\ln|x|+c \end{align*}
Para ( x > 0 ):
\begin{align*} f(x)&=\frac{x^2}{2}-\ln x+c\\ f(1)&=\frac{1^2}{2}-\ln 1+c=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad c=0\\ f(x)&=\frac{x^2}{2}-\ln |x| \end{align*}
Para ( x < 0 )
\begin{align*} f(x)&=\frac{x^2}{2}-\ln (-x)+c\\ f(-1)&=\frac{(-1)^2}{2}-\ln [-(-1)]+c=0 \quad \Rightarrow \quad c=-\frac{1}{2}\\ f(x)&=\frac{x^2}{2}-\ln |x|-\frac{1}{2} \end{align*}
Es mi solución correcta? Debo encontrar dos respuestas diferentes, uno para $x > 0$ y otro para $x < 0$?
Gracias.
