Esta es una tarea pregunta, así que me gustaría un empujón en la dirección correcta.
Deje $V$ ser un espacio vectorial con un no-degenerada bilineal simétrica forma $(\cdot,\cdot) : V\times V\rightarrow k$ sobre un campo $k$, y deje $\{v_i\}_{i=1}^n$ ser una base para $V$. Definir la base ortogonal $\{u_i\}_{i=1}^n$$(v_i,u_j) =\delta_{ij}$.
Muestran que en el producto tensor $V\otimes V$, la suma $$\sum_{i=1}^n v_i\otimes u_i,$$ is independent of the choice of basis for $V$.
Esto es lo que tengo hasta ahora:
Deje $\{v_i'\}$ ser otra base para $V$. Y deje $\{u_i'\}$ ser su correspondiente base ortogonal. A continuación, para todos $i$, $v_i' = \sum_{j=1}^n \alpha_{ji}v_j$, y $u_i' = \sum_{j=1}^n \beta_{ji}u_j$. Luego tenemos a $\delta_{ij} = (v_i',u_j') = \sum_{k=1}^n \alpha_{ki}\beta_{kj}$.
Ahora tenemos, $\sum_i (v_i'\otimes u_i') = \sum_i\left(\sum_k\sum_\ell \alpha_{ki}\beta_{\ell i}(v_k\otimes u_\ell)\right)$.
Pero ahora estoy atascado y no sé cómo recuperar la suma original de lo que tengo ahí.
