Cómo determinar si una ecuación es algebraicamente solucionable?

Question

Problema

Me fue dada la siguiente ecuación a resolver para $x$:

$$35x^{9 / 5} + 180x^{7 / 5} + 252x = 50400 / \pi$$

Pero no se quedan atrapadas en ella. Es sólo un ejemplo.

Mi solución

...fue simplemente el uso de una calculadora, la cual me dio una aparentemente número irracional, lo cual es comprensible dada la presencia de pi.

Pero, al mismo tiempo, me preguntaba si esta ecuación se pueden resolver por los típicos métodos algebraicos, como sustituciones produciendo una ecuación cuadrática, por ejemplo.

Pero más en general, empecé a preguntarme cómo podría determinar si es o no es solucionable, de manera algebraica.

Pregunta

¿Tenemos alguna "si tal y tal no está satisfecho, ir numérico" reglas de oro? O simplemente nos hacen una llamada a juicio?

Answer 1

El uso de $y = x^{1/5}$ tenemos \begin{align} 50400 / \pi &= 35 \, x^{9 / 5} + 180 \, x^{7 / 5} + 252 \, x \\ &= 35 \, y^9 + 180 \, y^7 + 252 \, y^5 \\ \end{align} Por lo tanto estamos buscando las raíces de $$ f(x) = 35 y^9 + 180 y^7 + 252 y^5 - 50400/\pi $$ que es un polinomio de grado $d=9$. Por desgracia, Abel y Galois mostraron que, en general, no hay ningún método algebraico disponibles para $d > 4$, por lo que ir numérico!

Para la velocidad se podría utilizar el método de Newton-Raphson iteración, pero también es divertido para buscar un punto fijo en su lugar. $$ F(x) = \frac{50400/\pi - 35 y^9 - 180 y^7}{252 y^4} = \frac{50400/\pi}{252 y^4} - \frac{35}{252} y^5 - \frac{180}{252} y^3 $$

Answer 2

Establecimiento $t=x^{1/5}$ entonces obtendremos $x=t^5$ y nuestra ecuación está dada por $$35t^9+180t^7+252t^5=\frac{50400}{\pi}$$