Generalidad de Manin-Field ' teorema d

Question

El Manin Drinfeld teorema afirma que un % de curva modular $X_0(N)$y el jacobiano $J_0(N)$ con el anterior siendo embdedded en esta última bajo el mapa que tiene $i\infty$ $0$, las cúspides son torsión.

La prueba Teorema de Manin-Drinfeld parece usar operadores de Hecke y así parece ser válida sólo para los subgrupos de la congruencia de $PSL_2(\mathbb Z)$. ¿Hay posiblemente un subgrupo de índice finito de $PSL_2(\mathbb Z)$ tal que la declaración de Manin-Drinfeld Teorema es cierto para el cociente?

Answer 1

Me gusta tu pregunta! Me gustaría poder dar una respuesta completa, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con el Manin-Drinfeld teorema. Después de terminar un par de semanas de trabajo, espero poder volver y pensar acerca de ello en detalle.

Me imagino que la respuesta es sí, y tengo algunos de los candidatos que se podría tratar. El Fermat curvas pueden ser identificados con compactified cocientes $\Gamma\backslash\mathcal{H}$ finitas índice de subgrupos $\Gamma$, de la siguiente manera:

El sistema modular de la función $\lambda(z) = \frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)}=16 q^{1/2} -128q +704q^{3/2} + \ldots$ es un Hauptmodul del género 0 congruencia de los subgrupos $\Gamma(2)$. (I. e., es invariante bajo la acción de $\Gamma(2)$ por fracciones de transformación lineal, y parametrizes el género 0 superficie modular $X_{\Gamma(2)} = \Gamma(2) \backslash \mathcal{H} \cup \{0,1,i_\infty\}$.)

Definimos Hauptmoduln $x:= \sqrt[n]{\lambda}$$y:= \sqrt[n]{1-\lambda}$, lo que determina finito índice de género 0 subgrupos $\Gamma_x$$\Gamma_y$. A continuación, $\Gamma:= \Gamma_x \cap \Gamma_y$ es subgrupo con compactified cociente $X_{\Gamma}: x^n + y^n = 1$, e $\Gamma$ es un noncongruence subgrupo de $n \neq 1,2,4,8$.

Esta construcción es de una encuesta en papel por Ling Long. Podemos utilizar esencialmente la misma idea para obtener el cociente de las curvas de las curvas de Fermat: Si establecemos $x:= -\sqrt[5]{\lambda}$$y:= \sqrt{1-\lambda}$, obtenemos un noncongruence subgrupo $\Gamma$ con el modelo de $y^2=x^5+1$, que es un buen género 2 curva, y su Jacobiana tiene CM.

Si usted puede comprobar lo que sucede en este caso, yo estaría interesado en escuchar acerca de él.

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Añadido posterior:

Hice una búsqueda y encontré un papel relevante: "El Manin-Drinfeld y teorema de Ramanujan sumas" por V. Kumar Murty y Dinakar Ramakrishnan.

Dan la misma construcción de las curvas de Fermat como me dio anteriormente, atribuyéndolo a Fricke y Klein. También citan un resultado de Rohrlich que establece que las cúspides de los $\Gamma$ mapa a la torsión de los puntos de la Jacobiana.

Así que la respuesta es sí; el noncongruence grupos $\Gamma$ correspondiente a las curvas de Fermat también la satisfacción de la declaración de la Manin-Drinfeld teorema.