$ \sum_{j=1}^{M/2}\sum_{k=1}^{M-1}\cos{\left(\frac{2\pi}{M}kj\right)}=-M/2 $

Question

Estoy tratando de probar algo ahora mismo. Lo que exactamente no es importante. Pude descomponer todo en la siguiente ecuación.

$ \ sum_ {j = 1} ^ {M / 2} \ sum_ {k = 1} ^ {M-1} \ cos {\ left (\ frac {2 \ pi} {M} kj \ right)} = - M / 2 $

Esto debería mantenerse para todos los valores pares de$M\in\mathbb{N}$. ¿Algunas ideas? Traté de sustituir ambas sumas por una sola, pero eso da lugar a un gran lío ...

Lo comprobé en Mathematica con diferentes valores de$M$.

Answer 1

Cambiar a notación exponencial. Deje que$j$ se fije y deje que$d=\gcd(j,M).$ Luego$$\sum_{k=1}^{M-1} \exp(2\pi i j k/M)$$ adds up some $ M$-th roots of unity. If you were to increase the upper limit to $ M$, then you'd be adding all the $ M / d$-th roots of unity $ d$ times, which adds to $ 0 $. Entonces:$$\sum_{k=1}^{M-1} \cos(2\pi j k/M) = \Re\left(\sum_{k=1}^{M-1} \exp(2\pi i j k/M)\right)$ $ $$ = \ Re \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {M} \ exp (2 \ pi ijk / M) - \ exp (2 \ pi i jM / M) \ derecha) = \ Re (0 - 1) = -1. $$ Y eso debería facilitar la suma externa.

Answer 2

En primer lugar, sabemos que $$ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

Ahora suponga $$ x = \frac{2\pi ji}{M} $$

Podemos reescribir la expresión dada como

$$ \sum_{j=1}^{M/2}\sum_{k=1}^{M-1}\cos(\frac{2\pi kj}{M}) = \sum_{j=1}^{M/2}\sum_{k=1}^{M-1} \frac{e^{xk}+e^{-xk}}{2}$$

Primero vamos a tratar de encontrar un valor de $$ \sum_{k=0}^{M-1} \frac{e^{xk}+e^{-xk}}{2} $$ Observe que, en su expresión $k$ es a partir de $1$, pero es a partir de $zero$ ahora.

$$ \sum_{k=0}^{M-1} \frac{e^{xk}+e^{-xk}}{2} = \frac{1}{2}(\frac{e^{xM}-1}{e^x-1} - \frac{e^{-xM}-1}{e^x-1})$$

Si con poner el valor de $ x=\frac{2\pi ji}{M} $ $ e^{xM} $ llegamos $$ e^{xM} = e^{\frac{2\pi ji}{M}M} = e^{2\pi ji} = 1$$ Del mismo modo $$ e^{-xM} = 1 $$

Y, por tanto, $$ \sum_{k=0}^{M-1}\cos(\frac{2\pi kj}{M}) = \sum_{k=0}^{M-1} \frac{e^{xk}+e^{-xk}}{2} = 0 = 1 + \sum_{k=1}^{M-1}\cos(\frac{2\pi kj}{M})$$

$$ \Rightarrow \sum_{k=1}^{M-1}\cos(\frac{2\pi kj}{M}) = -1 $$

Por lo tanto, $$ \sum_{j=1}^{M/2}\sum_{k=1}^{M-1}\cos(\frac{2\pi kj}{M}) = \sum_{j=1}^{M/2}-1 = \frac{-M}{2}$$

Answer 3

Cuando $j<M$, $kj\bmod M$ es una permutación de los enteros $0,1,\cdots M-1$.

Entonces por cancellatoin de los cuadrantes, $$\sum_{k=0}^{M-1}\cos\frac{2\pi kj}{M}=0$$ y

$$\sum_{k=1}^{M-1}\cos\frac{2\pi kj}{M}=-1.$$

El reclamo sigue trivialmente.