Dado un presheaf $\mathcal{F}$sobre un espacio topológico $X$, se puede construir la etale espacio de $\pi_1 : Y_1\to X$. Veamos ahora el asociado gavilla $\mathcal{F}^+$ como presheaf y la construcción de la etale espacio de $\pi_2 :Y_2\to X$ correspondiente a la presheaf $\mathcal{F}^+$. Mi pregunta es : ¿cuál es la relación de $Y_1$$Y_2$? Hay una natural mapa de $\tau : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+ $, lo que da lugar a los mapas en el tallo nivel (directo límites) y, por tanto, un mapa de $\tau_{ES} : Y_1 \to Y_2 $. Es este mapa un homeomorphism ? (Si $\mathcal{F}$ eran una gavilla para empezar, $\tau$ habría sido un isomorfismo y por lo tanto, $\tau_{ES}$ habría sido un homeomorphism. Sin embargo no estoy seguro de si este es el caso incluso si comenzamos con una presheaf que no es una gavilla.)
Respuesta
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La canónica mapa de $\tau_{ES}:Y_1\to Y_2$ es siempre un homeomorphism, independientemente de si la presheaf $\mathcal F$ es una gavilla o no.
La razón básica es que la presheaf $\mathcal F$ y su sheafification $\mathcal F^+$ tienen exactamente los mismos tallos.
El resultado es más o menos evidente si se toma por $\mathcal F^+$ la gavilla de las secciones de la étalé espacio de $Et(\mathcal F)$ asociado a la presheaf $\mathcal F$.
Los detalles se pueden encontrar en el Capítulo 2,Teorema 3.10 de esta muy clara libro de Tennison .
