Caracterización de reales con expansiones decimales de terminación.

Question

Muestran que un número tiene un decimal finito de expansión si y sólo si, es racional y cuando en términos mínimos, su denominador es coprime a todos los números primos distintos de $2$$5$.

Esta es una cuestión no resuelta en mis notas de la conferencia. Sólo puedo parecen demostrar lo contrario la dirección de este. Agradecería una solución para la otra dirección.

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Para conversar dirección:

Deje que el número, en términos mínimos, dado por $\frac{l}{m}$ donde $m = 2^ \alpha 5^\beta$, para algunos enteros positivos, $\alpha$$\beta$.

• Si $\alpha > \beta$, vamos a $k = 5^{(\alpha-\beta)}$.

• Si $\alpha < \beta$, vamos a $k = 2^{(\beta-\alpha)}$.

A continuación, $\frac{l}{m} = \frac{kl}{k2^\alpha5^\beta}=\frac{kl}{10^q}$ donde $q = \max(\alpha,\beta)$.

Por lo tanto $\frac{l}{m}$ es un decimal finito.

Answer 1

Esto es una consecuencia de factorización única, lo que implica la unicidad de los más bajos en términos de representación de las fracciones. Supongamos que el real $\rm\,r\,$ $\rm\:k\:$ cero dígitos después del punto decimal. Luego multiplicando por $\rm\,10^k$ desplaza el punto decimal a la derecha por $\rm\,k\,$ dígitos, por lo tanto, se obtiene un número entero, es decir,$\rm\: 10^k r = n\in \Bbb Z.\:$$\rm\: r = n/10^k\:$, por lo que la eliminación de factores comunes para reducir esta fracción a su mínima expresión de los rendimientos de una fracción cuyo denominador se divide $\rm\:10^k\! = 2^k 5^k.\:$ Por única factorización el único de estos divisores son $\rm\:2^i 5^j\:$ $\rm\:i,j \le k.\:$ También por única de la factorización de los más bajos los términos de la representación de una fracción es único, de modo que no puede existir otra fracción equivalente en términos mínimos, cuyo denominador tiene factores primos distintos de $2$$5$. Esto completa la prueba.

Answer 2

Si el denominador tiene un factor primo que no sea$2$ y$5$, no hay poder de$10$ que divide. Si asume que termina después de$n$ decimales, el denominador debe dividir$10^n$

Answer 3

Deje que$n$ sea el decimal final en cuestión y deje que$a =n\cdot10^m$, donde$m$ sea el número de lugares en la expansión decimal después del punto decimal. Luego$n=\frac{a}{10^m}$, cuyo denominador es co-cebado a cualquier primo que no sea 2 o 5, sin importar cuántas cancelaciones ocurran al simplificar.