La computación en el análisis armónico.

Question

Tengo una pregunta muy precisa sobre p. 82-83 de Stein libro "Singular integrales y la diferenciabilidad de las propiedades de las funciones". En realidad es un problema del cálculo. Para $f \in L^{2}(\mathbb{R}^n)$, denotan por $u(x,y)$ la integral de Poisson de $f$ $$u(x,y)=\int_{\mathbb{R}^n} P_{y}(t) f(x-t) dt.$$ Set $$|\nabla u(x,y)|^2=\left| \frac{\partial u}{\partial y}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n} \left| \frac{\partial u}{\partial x_{j}} \right|^2.$$ Después de un cálculo, se trata de: $$\frac{\partial u}{\partial y}=\int_{\mathbb{R}^n} - 2 \pi |t| \hat{f}(t) e^{-2\pi i t \cdot x}e^{-2 \pi |t| y} dt$$ y $$\frac{\partial u}{\partial x_{j}}=\int_{\mathbb{R}^n} - 2 \pi i t_{j} \hat{f}(t) e^{-2\pi i t \cdot x}e^{-2 \pi |t| y} dt.$$ Ok. Pero entonces, está escrito que $$\int_{\mathbb{R^n}} |\nabla u (x,y)|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} 8 \pi^2 |t|^2 |\hat{f}(t)|^{2}e^{-4 \pi |t|y}dy.$$ No entiendo cómo conseguir que. Sobre todo no veo la manera de la plaza fuera de la integral en, por ejemplo, $\left| \frac{\partial u}{\partial y} \right|$ se las arregla para entrar en la integral. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Sugerencia: escriba $u(\cdot,y) = P_y \ast f$. Ahora para la transformada de Fourier de una convolución, tenemos una bonita identidad.

Un poco más detallado de la respuesta de la siguiente manera.

Denotar por $\mathcal{F}_x$ la transformada de Fourier en la variable x. Tenemos por Plancherel la identidad y de la $\mathcal{F}(P_y \ast f) = \hat{P_y} \hat{f}$ que $$\int \lvert \nabla u(x,y) \rvert^2 dx = \int \lvert \xi \rvert^2 \lvert \hat{u}(\xi, y)\rvert^2 d\xi = \int \lvert \xi \rvert^2 \lvert \hat{P_y}(\xi) \rvert^2 \lvert \hat{f}(\xi) \rvert^2 d\xi.$$ Uno necesita calcular la transformada de Fourier de la distribución de Poisson kernel para terminar.

Answer 2

Gracias por tu respuesta. Sin embargo todavía estoy confundido. Teniendo en cuenta la definición misma de$|\nabla u (x,y)|^2$, $$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\nabla u (x,y)\right|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial y} (x,y)\right|^2 dx + \sum_{j=1}^n \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial x_{j}} (x,y)\right|^2 dx.$$ Now I agree on the fact that $$\sum_{j=1}^n \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial x_{j}} (x,y)\right|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^2|\hat{P_{y}}(\xi)|^2|\hat{f} (\xi)|^2 d\xi.$$ But my main problem is precisely how to deal with $\ int _ {\ mathbb {R} ^ n} | \ frac {\ parcial u} {\ parcial y} (x, y) | ^ 2 dx = \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ n} 2 \ pi | t | \ hat {f } (t) e ^ {- 2 \ pi it \ cdot x} e ^ {- 2 \ pi | t | y} \ right) ^ 2 dx$ ...