Tengo una pregunta muy precisa sobre p. 82-83 de Stein libro "Singular integrales y la diferenciabilidad de las propiedades de las funciones". En realidad es un problema del cálculo. Para $f \in L^{2}(\mathbb{R}^n)$, denotan por $u(x,y)$ la integral de Poisson de $f$ $$u(x,y)=\int_{\mathbb{R}^n} P_{y}(t) f(x-t) dt.$$ Set $$|\nabla u(x,y)|^2=\left| \frac{\partial u}{\partial y}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n} \left| \frac{\partial u}{\partial x_{j}} \right|^2.$$ Después de un cálculo, se trata de: $$\frac{\partial u}{\partial y}=\int_{\mathbb{R}^n} - 2 \pi |t| \hat{f}(t) e^{-2\pi i t \cdot x}e^{-2 \pi |t| y} dt$$ y $$\frac{\partial u}{\partial x_{j}}=\int_{\mathbb{R}^n} - 2 \pi i t_{j} \hat{f}(t) e^{-2\pi i t \cdot x}e^{-2 \pi |t| y} dt.$$ Ok. Pero entonces, está escrito que $$\int_{\mathbb{R^n}} |\nabla u (x,y)|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} 8 \pi^2 |t|^2 |\hat{f}(t)|^{2}e^{-4 \pi |t|y}dy.$$ No entiendo cómo conseguir que. Sobre todo no veo la manera de la plaza fuera de la integral en, por ejemplo, $\left| \frac{\partial u}{\partial y} \right|$ se las arregla para entrar en la integral. Cualquier sugerencia es bienvenida.
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Sugerencia: escriba $u(\cdot,y) = P_y \ast f$. Ahora para la transformada de Fourier de una convolución, tenemos una bonita identidad.
Un poco más detallado de la respuesta de la siguiente manera.
Denotar por $\mathcal{F}_x$ la transformada de Fourier en la variable x. Tenemos por Plancherel la identidad y de la $\mathcal{F}(P_y \ast f) = \hat{P_y} \hat{f}$ que $$ \int \lvert \nabla u(x,y) \rvert^2 dx = \int \lvert \xi \rvert^2 \lvert \hat{u}(\xi, y)\rvert^2 d\xi = \int \lvert \xi \rvert^2 \lvert \hat{P_y}(\xi) \rvert^2 \lvert \hat{f}(\xi) \rvert^2 d\xi. $$ Uno necesita calcular la transformada de Fourier de la distribución de Poisson kernel para terminar.
Gracias por tu respuesta. Sin embargo todavía estoy confundido. Teniendo en cuenta la definición misma de$|\nabla u (x,y)|^2$,$$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\nabla u (x,y)\right|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial y} (x,y)\right|^2 dx + \sum_{j=1}^n \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial x_{j}} (x,y)\right|^2 dx.$$ Now I agree on the fact that $$\sum_{j=1}^n \int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial x_{j}} (x,y)\right|^2 dx = \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^2|\hat{P_{y}}(\xi)|^2|\hat{f} (\xi)|^2 d\xi.$$ But my main problem is precisely how to deal with $ \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} | \ frac {\ parcial u} {\ parcial y} (x, y) | ^ 2 dx = \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ n} 2 \ pi | t | \ hat {f } (t) e ^ {- 2 \ pi it \ cdot x} e ^ {- 2 \ pi | t | y} \ right) ^ 2 dx $ ...
