Lógica proposicional (cálculo)...atascada

Question

Derivar $c$ utilizando:

1. $b \implies \lnot a$ (b implica la negación de a)
2. $a \land b$ (a y b)

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

1. $a \land b $ local
2. $b\implies -a$ local
3. $b$ $\land$ -elim, 1
4. $\lnot a$ $\implies$ -elim, 2,3

ahora tengo $a$ y $\lnot a$ pero todavía no sé cómo resolver para $c$ . ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Lo que necesita aquí es el principio de explosión , también conocido como ex falso quodlibet en latín: Si has derivado una contradicción, puedes saltar en cualquier lugar de eso en un solo paso.

La forma de justificar formalmente ese salto varía considerablemente según el sistema de pruebas en el que se trabaje. Las otras respuestas hasta ahora dan sugerencias razonables; una adicional que se alinea razonablemente bien con cómo van las pruebas matemáticas ordinarias es:

... y por lo tanto $a\land \neg a$ .

Ahora demostraré $c$ indirectamente. Suponemos que $\neg c$ y luego tratar de derivar una contradicción. Pero $a\land \neg a$ es una contradicción. (No importa que no hayamos utilice $\neg c$ para conseguirlo, basta con que tienen ). Por lo tanto, por contradicción, $c$ . Q.E.D.

Answer 2

Si $\neg a$ entonces ciertamente $\neg a \vee c$ ... puedes ver cómo eliminar $\neg a$ ¿de eso?

(La esencia de este argumento es el principio lógico de ex falso quodlibet (lo que significa, a grandes rasgos, que si tienes una contradicción en tu sistema lógico, puedes demostrar cualquier afirmación).

Answer 3

Bueno, ahora tienes $a \land -a$ que es una afirmación errónea, y puede derivar cualquier cosa de ella, en particular $c$ . Recuerde que $p \Rightarrow q$ es siempre verdadera, si $p$ es falso, independientemente de $q$ .

Answer 4

Tenga en cuenta que $b \Rightarrow (\neg a)$ es lo mismo que $(\neg b) \vee \neg (a)$ . Además, esto es lo mismo que $\neg (a \wedge b)$ .

Dejemos que $P$ abreviar $a \wedge b$ . En particular 2. es $P$ . Desde el primer párrafo, hemos demostrado que 1. da $\neg P$ .

Por lo tanto, tiene $P \wedge \neg P$ .

Utilizando la tabla de verdad, se puede comprobar que $(P \wedge \neg P) \Rightarrow c$ es una Tautología (siempre verdadera) para todo $c$ .

Hasta ahora, hemos $P \wedge \neg P$ y $(P \wedge P) \Rightarrow c$ . Mediante el Modus Ponen, usted tiene $c$ .

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Un sistema formal se llama a veces inconsistente si puede demostrar una contradicción (es decir $P \wedge \neg P$ ). Una definición alternativa de inconsistente es que el sistema formal puede demostrarlo todo. El argumento aquí muestra que las dos definiciones son equivalentes.

Answer 5

Si se tiene el Modus Ponens (MP) y los siguientes axiomas (para todas las fórmulas $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ ):

A1. $ $ $(\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha)$

A2. $ $ $(\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma) \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma)$

A3. $ $ $((\neg \beta \rightarrow \neg \alpha) \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta))$

Entonces una derivación formal de $c$ de $\Gamma = \{a, \neg a\}$ podría ser

1. $\neg a \rightarrow (\neg c \rightarrow \neg a)$ $ $ [de A1]
2. $\neg a$ $ $ [de $\Gamma$ ]
3. $(\neg c \rightarrow \neg a)$ $ $ [MP de 1 y 2]
4. $(\neg c \rightarrow \neg a) \rightarrow (a \rightarrow c)$ $ $ [de A3]
5. $(a \rightarrow c)$ $ $ [MP de 3 y 4]
6. $a$ $ $ [de $\Gamma$ ]
7. $c$ $ $ [MP de 5 y 6]